与えられた式 $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理し、xの2次式として見やすくします。

$6x^2 - (7a + 6)x + (2a^2 + 5a - 12)$

次に、定数項 $2a^2 + 5a - 12$ を因数分解します。

$2a^2 + 5a - 12 = (2a - 3)(a + 4)$

したがって、$6x^2 - (7a + 6)x + (2a - 3)(a + 4)$を因数分解することを試みます。

$6x^2 - (7a + 6)x + (2a - 3)(a + 4) = (2x + pa + q)(3x + ra + s)$の形になると仮定して、係数を比較します。

$(2x + pa + q)(3x + ra + s) = 6x^2 + (2ra + 3pa)x + (2sa + 3qa) + pr a^2 + (ps + qr)a + qs$

$pr = 2$, $ps + qr = 5$, $qs = -12$

$2ra + 3pa = -7a - 6$

$2sa + 3qa = 5a$

試行錯誤によって、以下のように因数分解できることがわかります。

$6x^2 - (7a+6)x + (2a^2 + 5a - 12) = (2x-a+4)(3x-2a+3)$

確認のため、展開してみます。

$(2x-a+4)(3x-2a+3) = 6x^2 - 4ax + 6x - 3ax + 2a^2 - 3a + 12x - 4a + 12 = 6x^2 - 7ax + 18x + 2a^2 - 7a + 12$

これは元の式と一致しません。

もう一度因数分解を試みます。

$6x^2 - (7a+6)x + (2a-3)(a+4)$ を因数分解する際、$2x-2a$や、$3x-3a$などの組み合わせではうまくいきません。

$6x^2 - 7ax - 6x + 2a^2 + 5a - 12$

$6x^2 - 6x = 6x(x-1)$

$2a^2 + 5a - 12 = (2a-3)(a+4)$

$(3x-2a+3)(2x-a-4)=6x^2 -3ax -12x -4ax + 2a^2 +8a +6x -3a -12 = 6x^2 -7ax -6x + 2a^2 +5a -12$

3. 最終的な答え

$(3x - 2a + 3)(2x - a - 4)$