2次方程式 $x^2 - 4x + 5 = 0$ の解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$、虚部が負であるものを $\beta$ とする。$z = \frac{\beta}{\alpha}$ とおくとき、$z$ および $z^2 - \frac{6}{5}z$ の値を求め、さらに $5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + 5 = 0$ の解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$、虚部が負であるものを $\beta$ とする。$z = \frac{\beta}{\alpha}$ とおくとき、$z$ および $z^2 - \frac{6}{5}z$ の値を求め、さらに $5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x + 5 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$$

したがって、$\alpha = 2 + i$、$\beta = 2 - i$ となります。

(2) $z = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{2 - i}{2 + i}$ を計算します。分母の有理化のために、分母と分子に $2 - i$ をかけます。

$$z = \frac{(2 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5}$$

(3) $z^2 - \frac{6}{5}z$ を計算します。

$$z^2 = \left( \frac{3 - 4i}{5} \right)^2 = \frac{9 - 24i - 16}{25} = \frac{-7 - 24i}{25}$$

$$\frac{6}{5} z = \frac{6}{5} \left( \frac{3 - 4i}{5} \right) = \frac{18 - 24i}{25}$$

$$z^2 - \frac{6}{5}z = \frac{-7 - 24i}{25} - \frac{18 - 24i}{25} = \frac{-7 - 18 - 24i + 24i}{25} = \frac{-25}{25} = -1$$

(4) $5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1$ を計算します。まず、$z^2 - \frac{6}{5}z = -1$ より $z^2 = \frac{6}{5}z - 1$ であることを利用します。

$$5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1 = 5z^2(z^2) - z(z^2) - 6z^2 + 6z - 1$$

$$= 5z^2(\frac{6}{5}z - 1) - z(\frac{6}{5}z - 1) - 6z^2 + 6z - 1$$

$$= 6z^3 - 5z^2 - \frac{6}{5}z^2 + z - 6z^2 + 6z - 1$$

$$= 6z^3 - (5 + \frac{6}{5} + 6)z^2 + 7z - 1 = 6z^3 - \frac{61}{5} z^2 + 7z - 1$$

$z^3 = z(\frac{6}{5}z - 1) = \frac{6}{5}z^2 - z$

$$6(\frac{6}{5}z^2 - z) - \frac{61}{5} z^2 + 7z - 1 = \frac{36}{5}z^2 - 6z - \frac{61}{5} z^2 + 7z - 1 = -\frac{25}{5} z^2 + z - 1$$

$$= -5z^2 + z - 1 = -5 (\frac{6}{5}z - 1) + z - 1 = -6z + 5 + z - 1 = -5z + 4$$

$$= -5(\frac{3 - 4i}{5}) + 4 = -(3 - 4i) + 4 = -3 + 4i + 4 = 1 + 4i$$

3. 最終的な答え

$z = \frac{3 - 4i}{5}$

$z^2 - \frac{6}{5}z = -1$

$5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1 = 1 + 4i$