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問題は、$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n+1})$ を計算することです。

解析学極限関数の極限有理化
2025/5/6

1. 問題の内容

問題は、lim⁡n→∞(n−n+1)\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n+1}) を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、n−n+1\sqrt{n} - \sqrt{n+1} に n+n+1n+n+1\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} を掛けて有理化します。
n−n+1=(n−n+1)⋅n+n+1n+n+1=n−(n+1)n+n+1=−1n+n+1\sqrt{n} - \sqrt{n+1} = (\sqrt{n} - \sqrt{n+1}) \cdot \frac{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{n - (n+1)}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{-1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}
したがって、
lim⁡n→∞(n−n+1)=lim⁡n→∞−1n+n+1\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n+1}) = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}
n→∞n \to \infty のとき、n→∞\sqrt{n} \to \infty および n+1→∞\sqrt{n+1} \to \infty であるため、n+n+1→∞\sqrt{n} + \sqrt{n+1} \to \infty となります。
したがって、−1n+n+1→0\frac{-1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \to 0 となります。

3. 最終的な答え

0

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## 問題の解答

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