問題は、以下の2つの無限級数の和を求めることです。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n \cos n\pi$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2}$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの無限級数の和を求めることです。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n \cos n\pi$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n \cos n\pi$

まず、$\cos n\pi$ の値を考えます。

$n$が偶数のとき $\cos n\pi = 1$

$n$が奇数のとき $\cos n\pi = -1$

したがって $\cos n\pi = (-1)^n$

よって、級数は

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n (-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n$

これは初項 $-\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{3}$ の等比級数なので、和は

$\frac{-\frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{4}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2}$

$\sin \frac{n\pi}{2}$ の値を考えます。

$n=1$ のとき $\sin \frac{\pi}{2} = 1$

$n=2$ のとき $\sin \pi = 0$

$n=3$ のとき $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$

$n=4$ のとき $\sin 2\pi = 0$

$n=5$ のとき $\sin \frac{5\pi}{2} = 1$

したがって、$\sin \frac{n\pi}{2}$ は $1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, ...$ と周期4で繰り返します。

級数を書き下すと

$(-\frac{1}{3})^1 (1) + (-\frac{1}{3})^2 (0) + (-\frac{1}{3})^3 (-1) + (-\frac{1}{3})^4 (0) + (-\frac{1}{3})^5 (1) + ...$

$= -\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{27} + 0 - \frac{1}{243} + ...$

$= -\frac{1}{3} + \frac{1}{27} - \frac{1}{243} + ...$

これは初項 $-\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{9}$ の等比級数なので、和は

$\frac{-\frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{9})} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{10}{9}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} = -\frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{4}$

(2) $-\frac{3}{10}$