はい、承知しました。問題を解きます。

はい、承知しました。問題を解きます。

**問題 8**

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ 、部分集合 $A = \{4, 5, 7, 8, 11\}$、 $B = \{4, 9, 10, 11\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $\overline{A \cup B}$

**解き方の手順**

(1) $A \cap B$ を求める

$A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{4, 5, 7, 8, 11\}$

$B = \{4, 9, 10, 11\}$

$A$ と $B$ に共通する要素は $4$ と $11$ です。

したがって、

$A \cap B = \{4, 11\}$

(2) $\overline{A \cup B}$ を求める

まず、$A \cup B$ を求めます。$A \cup B$ は、$A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。

$A = \{4, 5, 7, 8, 11\}$

$B = \{4, 9, 10, 11\}$

$A \cup B = \{4, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$

次に、$\overline{A \cup B}$ を求めます。これは、$U$ の要素のうち、$A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$U = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

$A \cup B = \{4, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$

$U$ の要素のうち、$A \cup B$ に含まれない要素は $6$ と $12$ です。

したがって、

$\overline{A \cup B} = \{6, 12\}$

**最終的な答え**

(1) $A \cap B = \{4, 11\}$

(2) $\overline{A \cup B} = \{6, 12\}$

**問題 9**

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$A \subset B$ のとき、次の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $A \cap \overline{B}$

**解き方の手順**

$A \subset B$ であることから、$A$ は $B$ の部分集合であり、$A$ のすべての要素は $B$ に含まれます。

(1) $A \cap B$ を求める

$A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。$A$ は $B$ の部分集合なので、$A$ のすべての要素は $B$ に含まれます。したがって、$A \cap B = A$ となります。

(2) $A \cup B$ を求める

$A \cup B$ は、$A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。$A$ は $B$ の部分集合なので、$A$ の要素はすべて $B$ に含まれます。したがって、$A \cup B = B$ となります。

(3) $A \cap \overline{B}$ を求める

$\overline{B}$ は、$U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合です。$A \subset B$ であることから、$A$ の要素はすべて $B$ に含まれます。したがって、$A$ の要素は $\overline{B}$ に含まれることはありません。よって、$A \cap \overline{B} = \emptyset$ となります。（$\emptyset$ は空集合を表します。）

**最終的な答え**

(1) $A \cap B = A$

(2) $A \cup B = B$

(3) $A \cap \overline{B} = \emptyset$