確率変数 $X$ の確率分布が与えられています。$X$ は 1, 2, 3, 4, 5 の値を取り、それぞれの確率が $p$, $2p$, $1/12$, $p$, $q$ です。$X$ の期待値が 3 であるとき、$p$ と $q$ の値を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率分布が与えられています。$X$ は 1, 2, 3, 4, 5 の値を取り、それぞれの確率が $p$, $2p$, $1/12$, $p$, $q$ です。$X$ の期待値が 3 であるとき、$p$ と $q$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、確率の合計が 1 であることから、$p$ と $q$ の関係式を求めます。

$p + 2p + \frac{1}{12} + p + q = 1$

$4p + q = 1 - \frac{1}{12}$

$4p + q = \frac{11}{12}$ ...(1)

次に、期待値が 3 であることから、$p$ と $q$ の別の関係式を求めます。期待値は、各値とその確率の積の合計です。

$1 \cdot p + 2 \cdot 2p + 3 \cdot \frac{1}{12} + 4 \cdot p + 5 \cdot q = 3$

$p + 4p + \frac{1}{4} + 4p + 5q = 3$

$9p + 5q = 3 - \frac{1}{4}$

$9p + 5q = \frac{11}{4}$ ...(2)

(1)式と(2)式を連立させて、$p$ と $q$ を求めます。

(1)式より、$q = \frac{11}{12} - 4p$

これを(2)式に代入すると、

$9p + 5(\frac{11}{12} - 4p) = \frac{11}{4}$

$9p + \frac{55}{12} - 20p = \frac{33}{12}$

$-11p = \frac{33}{12} - \frac{55}{12}$

$-11p = -\frac{22}{12}$

$p = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$q = \frac{11}{12} - 4p = \frac{11}{12} - 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{11}{12} - \frac{8}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$p = \frac{1}{6}$, $q = \frac{1}{4}$