確率変数 $X$ の確率分布が表で与えられています。$X$ の値は $1, 2, 3, 4, 5$ であり、それぞれの確率が $\frac{1}{6}, q, q, \frac{1}{12}, 3p$ です。確率の合計は $1$ であり、$X$ の期待値は $3$ であるとき、$p$ と $q$ の値を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率分布が表で与えられています。$X$ の値は $1, 2, 3, 4, 5$ であり、それぞれの確率が $\frac{1}{6}, q, q, \frac{1}{12}, 3p$ です。確率の合計は $1$ であり、$X$ の期待値は $3$ であるとき、$p$ と $q$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、確率の合計が 1 であることから、次の式が成り立ちます。

$\frac{1}{6} + q + q + \frac{1}{12} + 3p = 1$

これを整理すると、

$2q + 3p = 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = 1 - \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = 1 - \frac{3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

したがって、

$2q + 3p = \frac{3}{4}$ ...(1)

次に、期待値が 3 であることから、次の式が成り立ちます。

$1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot q + 3 \cdot q + 4 \cdot \frac{1}{12} + 5 \cdot 3p = 3$

これを整理すると、

$\frac{1}{6} + 2q + 3q + \frac{4}{12} + 15p = 3$

$5q + 15p = 3 - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = 3 - \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = 3 - \frac{3}{6} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

したがって、

$5q + 15p = \frac{5}{2}$ ...(2)

式(2)を5で割ると、

$q + 3p = \frac{1}{2}$ ...(3)

式(1)から式(3)を引くと、

$(2q + 3p) - (q + 3p) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

$q = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$

$q = \frac{1}{4}$ を式(3)に代入すると、

$\frac{1}{4} + 3p = \frac{1}{2}$

$3p = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

$p = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

$p = \frac{1}{12}, q = \frac{1}{4}$

よって、選択肢4が正しいです。