1から3の数字が書かれたカードが合計6枚あります。内訳は、1が1枚、2が2枚、3が3枚です。 この6枚のカードから1枚を引いたときに出る数字を確率変数$X$とします。このとき、$X$の分散を求めます。

1. 問題の内容

1から3の数字が書かれたカードが合計6枚あります。内訳は、1が1枚、2が2枚、3が3枚です。

この6枚のカードから1枚を引いたときに出る数字を確率変数$X$とします。このとき、$X$の分散を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$X$の確率分布を求めます。

- $X=1$となる確率は、$\frac{1}{6}$

- $X=2$となる確率は、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

- $X=3$となる確率は、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

次に、$X$の期待値$E[X]$を求めます。

$$E[X] = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$

次に、$X^2$の期待値$E[X^2]$を求めます。

$$E[X^2] = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{8}{6} + \frac{27}{6} = \frac{36}{6} = 6$$

分散$V[X]$は、$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$で求められます。

$$V[X] = 6 - \left( \frac{7}{3} \right)^2 = 6 - \frac{49}{9} = \frac{54}{9} - \frac{49}{9} = \frac{5}{9}$$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{9}$