(1) 袋A（白玉5個、赤玉3個）と袋B（白玉4個、赤玉6個）からそれぞれ1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した2個の玉の色が同じである確率を求める。 (2) 白玉3個、赤玉7個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べてから元に戻す試行を2回行う。 (i) 1回目と2回目に取り出した玉の色が同じである確率を求める。 (ii) 1回目と2回目に取り出した玉の色が異なる確率を求める。

1. 問題の内容

(1) 袋A（白玉5個、赤玉3個）と袋B（白玉4個、赤玉6個）からそれぞれ1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した2個の玉の色が同じである確率を求める。

(2) 白玉3個、赤玉7個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べてから元に戻す試行を2回行う。

(i) 1回目と2回目に取り出した玉の色が同じである確率を求める。

(ii) 1回目と2回目に取り出した玉の色が異なる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

袋Aから白玉を取り出し、袋Bからも白玉を取り出す場合と、袋Aから赤玉を取り出し、袋Bからも赤玉を取り出す場合の確率をそれぞれ計算し、それらを足し合わせる。

- 袋Aから白玉を取り出す確率: $\frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$

- 袋Bから白玉を取り出す確率: $\frac{4}{4+6} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

- 両方とも白玉である確率: $\frac{5}{8} \times \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$

- 袋Aから赤玉を取り出す確率: $\frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}$

- 袋Bから赤玉を取り出す確率: $\frac{6}{4+6} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

- 両方とも赤玉である確率: $\frac{3}{8} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{40}$

したがって、取り出した2個の玉の色が同じである確率は、$\frac{1}{4} + \frac{9}{40} = \frac{10}{40} + \frac{9}{40} = \frac{19}{40}$

(2)

(i)

1回の試行で白玉を取り出す確率: $\frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$

1回の試行で赤玉を取り出す確率: $\frac{7}{3+7} = \frac{7}{10}$

1回目と2回目に取り出した玉の色が同じである確率は、両方とも白玉である確率と、両方とも赤玉である確率の和である。

- 両方とも白玉である確率: $\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}$

- 両方とも赤玉である確率: $\frac{7}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{49}{100}$

したがって、1回目と2回目に取り出した玉の色が同じである確率は、$\frac{9}{100} + \frac{49}{100} = \frac{58}{100} = \frac{29}{50}$

(ii)

1回目と2回目に取り出した玉の色が異なる確率は、1から同じ色である確率を引けばよい。

したがって、1回目と2回目に取り出した玉の色が異なる確率は、$1 - \frac{29}{50} = \frac{50}{50} - \frac{29}{50} = \frac{21}{50}$

あるいは、

1回目に白玉、2回目に赤玉を引く確率と、1回目に赤玉、2回目に白玉を引く確率を足し合わせてもよい。

- 1回目に白玉、2回目に赤玉: $\frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{21}{100}$

- 1回目に赤玉、2回目に白玉: $\frac{7}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{21}{100}$

1回目と2回目に取り出した玉の色が異なる確率は、$\frac{21}{100} + \frac{21}{100} = \frac{42}{100} = \frac{21}{50}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{19}{40}$

(2) (i) $\frac{29}{50}$

(ii) $\frac{21}{50}$