5人を3つの組A, B, Cに分ける方法は何通りあるか。ただし、どの組にも少なくとも1人は入るものとする。

1. 問題の内容

5人を3つの組A, B, Cに分ける方法は何通りあるか。ただし、どの組にも少なくとも1人は入るものとする。

2. 解き方の手順

5人を3つの組に分ける場合、各組の人数は次のいずれかになります。

(1, 1, 3)

(1, 2, 2)

それぞれの分け方について、組A, B, Cへの割り当てを考えます。

(1) (1, 1, 3)の場合:

5人から3人を選ぶ方法は ${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

残りの2人から1人を選ぶ方法は ${}_2C_1 = 2$通り。

残りの1人は自動的に決まるので1通り。

ただし、1人の組が2つあるので、A, Bの区別をなくすために2!で割る必要があります。

よって、この場合の分け方は $10 \times 2 = 20$通りです。

(2) (1, 2, 2)の場合:

5人から1人を選ぶ方法は ${}_5C_1 = 5$通り。

残りの4人から2人を選ぶ方法は ${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$通り。

残りの2人は自動的に決まるので1通り。

ただし、2人の組が2つあるので、B, Cの区別をなくすために2!で割る必要があります。

よって、この場合の分け方は $5 \times 6 = 30$通りです。

しかし、2つの2人組は区別できないため、組分けを2!で割る必要はありません。

合計の分け方は、(1)と(2)の場合の数を足し合わせます。

$20 + 30 = 50$通り。

3. 最終的な答え

50通り