10本のくじの中に当たりくじが4本ある。A, Bの順に1本ずつくじを引く（引いたくじは元に戻さない）。Aが引いた当たりくじの本数を$X$、Bが引いた当たりくじの本数を$Y$とする。このとき、$XY$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが4本ある。A, Bの順に1本ずつくじを引く（引いたくじは元に戻さない）。Aが引いた当たりくじの本数を$X$、Bが引いた当たりくじの本数を$Y$とする。このとき、$XY$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

$XY$が取りうる値は0または1である。

$E[XY]$ は、AとBが共に当たりを引く確率を計算すればよい。

Aが当たりを引く確率は $\frac{4}{10}$ である。

Aが当たりを引いたとき、残りの9本の中に当たりくじは3本残っている。

したがって、Bが当たりを引く確率は $\frac{3}{9}$ である。

よって、AとBが共に当たりを引く確率は、

$\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

Aが外れを引く確率は $\frac{6}{10}$ である。

Aが外れを引いたとき、残りの9本の中に当たりくじは4本残っている。

したがって、Bが当たりを引く確率は $\frac{4}{9}$ である。

このとき$X=0$なので、$XY=0$である。

Aが当たりを引き、Bが外れを引く確率は $\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90}$。

このとき$Y=0$なので、$XY=0$である。

Aが外れを引き、Bも外れを引く確率は $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90}$。

このとき$X=0$と$Y=0$なので、$XY=0$である。

$E[XY] = 1 \times P(X=1, Y=1) + 0 \times P(X=0, Y=1) + 0 \times P(X=1, Y=0) + 0 \times P(X=0, Y=0)$

$E[XY] = P(X=1, Y=1) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{2}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{15}$