袋の中に6個の球が入っており、そのうち4個には20点、2個には50点が書かれている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出した20点の球の数を $X$、合計点数を $Y$ とする。このとき、$Y$ の分散を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に6個の球が入っており、そのうち4個には20点、2個には50点が書かれている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出した20点の球の数を $X$、合計点数を $Y$ とする。このとき、$Y$ の分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の取りうる値と確率を求める。

$X$ は取り出した3個の球の中に含まれる20点の球の個数なので、$X = 1, 2, 3$ がありえる。0,4もありえる

それぞれの場合の確率を計算する。

* $X = 0$ のとき: 3個全てが50点の球から選ばれる必要があるので、確率は

$P(X = 0) = \frac{{2 \choose 3}}{{6 \choose 3}} = 0$

(2個から3個を選ぶことはできないので、確率は0)

* $X = 1$ のとき: 20点の球が1個、50点の球が2個選ばれるので、確率は

$P(X = 1) = \frac{{4 \choose 1}{2 \choose 2}}{{6 \choose 3}} = \frac{4 \times 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

* $X = 2$ のとき: 20点の球が2個、50点の球が1個選ばれるので、確率は

$P(X = 2) = \frac{{4 \choose 2}{2 \choose 1}}{{6 \choose 3}} = \frac{6 \times 2}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

* $X = 3$ のとき: 20点の球が3個、50点の球が0個選ばれるので、確率は

$P(X = 3) = \frac{{4 \choose 3}{2 \choose 0}}{{6 \choose 3}} = \frac{4 \times 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

* $X = 4$ のとき: 20点の球が4個選ばれることはないので $P(X=4)=0$

$P(X = 0) = \frac{{4 \choose 0}{2 \choose 3}}{{6 \choose 3}}=0$

次に、$Y$ と $X$ の関係を考える。$Y$ は合計点数なので、取り出した20点の球の個数 $X$ と、50点の球の個数 $3-X$ を使って、

$Y = 20X + 50(3 - X) = 20X + 150 - 50X = 150 - 30X$

と表せる。

$E[Y]$を計算する。

$E[Y] = E[150 - 30X] = 150 - 30E[X]$

$E[X] = 1\times\frac{1}{5} + 2\times\frac{3}{5} + 3\times\frac{1}{5} = \frac{1+6+3}{5} = \frac{10}{5} = 2$

$E[Y] = 150 - 30(2) = 150 - 60 = 90$

$Var(Y)$を計算する。

$Var(Y) = Var(150 - 30X) = (-30)^2 Var(X) = 900 Var(X)$

$E[X^2] = 1^2\times\frac{1}{5} + 2^2\times\frac{3}{5} + 3^2\times\frac{1}{5} = \frac{1+12+9}{5} = \frac{22}{5}$

$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{22}{5} - 2^2 = \frac{22}{5} - 4 = \frac{22 - 20}{5} = \frac{2}{5}$

$Var(Y) = 900 \times \frac{2}{5} = 180 \times 2 = 360$

3. 最終的な答え

Yの分散は360