AさんとBさんがそれぞれ3枚の硬貨を同時に投げます。Aさんの硬貨の表の出た枚数を確率変数$X$、Bさんの硬貨の表の出た枚数を確率変数$Y$とします。確率変数$XY$の期待値$E[XY]$を求めなさい。

1. 問題の内容

AさんとBさんがそれぞれ3枚の硬貨を同時に投げます。Aさんの硬貨の表の出た枚数を確率変数$X$、Bさんの硬貨の表の出た枚数を確率変数$Y$とします。確率変数$XY$の期待値$E[XY]$を求めなさい。

2. 解き方の手順

$X$と$Y$はそれぞれ独立な確率変数なので、$E[XY] = E[X]E[Y]$が成り立ちます。したがって、$E[X]$と$E[Y]$をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせることで$E[XY]$を求めることができます。

$X$は3枚の硬貨を投げて表が出る枚数なので、二項分布$B(3, 1/2)$に従います。同様に、$Y$も二項分布$B(3, 1/2)$に従います。

二項分布$B(n, p)$に従う確率変数の期待値は$np$で与えられます。したがって、$E[X] = 3 \times (1/2) = 3/2$、同様に、$E[Y] = 3 \times (1/2) = 3/2$です。

よって、$E[XY] = E[X]E[Y] = (3/2) \times (3/2) = 9/4$となります。

3. 最終的な答え

9/4