硬貨を2回投げ、表が出たら2点、裏が出たら-1点とする。この時の合計点を$X$とする。また、同時にサイコロを投げ、出た目を$Y$とする。このとき、$2X + 6Y$の期待値を求める。

1. 問題の内容

硬貨を2回投げ、表が出たら2点、裏が出たら-1点とする。この時の合計点を$X$とする。また、同時にサイコロを投げ、出た目を$Y$とする。このとき、$2X + 6Y$の期待値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$X$の期待値$E[X]$を求める。

硬貨を2回投げるので、取りうる$X$の値は以下の通り。

* 表が2回出る: $X = 2 + 2 = 4$

* 表が1回、裏が1回出る: $X = 2 + (-1) = 1$

* 裏が2回出る: $X = (-1) + (-1) = -2$

それぞれの確率を計算する。

* 表が2回出る確率: $(1/2) \times (1/2) = 1/4$

* 表が1回、裏が1回出る確率: $2 \times (1/2) \times (1/2) = 1/2$

* 裏が2回出る確率: $(1/2) \times (1/2) = 1/4$

$X$の期待値$E[X]$は、

$$E[X] = 4 \times (1/4) + 1 \times (1/2) + (-2) \times (1/4) = 1 + 1/2 - 1/2 = 1$$

次に、$Y$の期待値$E[Y]$を求める。

$Y$はサイコロの出た目なので、取りうる値は1から6。それぞれの確率は1/6である。

$Y$の期待値$E[Y]$は、

$$E[Y] = (1+2+3+4+5+6) \times (1/6) = 21 \times (1/6) = 7/2 = 3.5$$

最後に、$2X + 6Y$の期待値を求める。

期待値の線形性より、

$$E[2X + 6Y] = 2E[X] + 6E[Y]$$

$$E[2X + 6Y] = 2(1) + 6(7/2) = 2 + 21 = 23$$

3. 最終的な答え

23