硬貨を2回投げる。表が出たら3点、裏が出たら-2点とする。この時の点数をXとする。 同時にサイコロを投げて出た目の数を点数Yとする。 このとき、XYの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

硬貨を2回投げる。表が出たら3点、裏が出たら-2点とする。この時の点数をXとする。

同時にサイコロを投げて出た目の数を点数Yとする。

このとき、XYの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、Xの期待値を計算する。

硬貨を2回投げるので、取りうるXの値は、

* 表が2回: 3 + 3 = 6

* 表が1回、裏が1回: 3 + (-2) = 1

* 裏が2回: -2 + (-2) = -4

それぞれの確率を計算する。

* 表が2回: (1/2) * (1/2) = 1/4

* 表が1回、裏が1回: 2 * (1/2) * (1/2) = 1/2

* 裏が2回: (1/2) * (1/2) = 1/4

Xの期待値E[X]は、

$E[X] = 6 * (1/4) + 1 * (1/2) + (-4) * (1/4) = 3/2 + 1/2 - 1 = 2 - 1 = 1$

次に、Yの期待値を計算する。Yはサイコロの出た目の数なので、取りうる値は1から6。

それぞれの確率は1/6。

Yの期待値E[Y]は、

$E[Y] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6 = 7 / 2 = 3.5$

XとYは独立なので、E[XY] = E[X] * E[Y]

$E[XY] = 1 * (7/2) = 7/2 = 3.5$

3. 最終的な答え

XYの期待値は3.5