男子A, B, C, D, Eと女子F, G, Hの8人が横一列に並ぶとき、以下の問いに答えよ。 (1) AとBが隣り合うような並び方は何通りあるか。 (2) AとBの間にちょうど2人が並ぶような並び方は何通りあるか。 (3) 女子同士が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子A, B, C, D, Eと女子F, G, Hの8人が横一列に並ぶとき、以下の問いに答えよ。

(1) AとBが隣り合うような並び方は何通りあるか。

(2) AとBの間にちょうど2人が並ぶような並び方は何通りあるか。

(3) 女子同士が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AとBが隣り合う場合

AとBを一つの塊として考える。この塊とC, D, E, F, G, Hの7つの要素を並べる順列を考える。

塊の中でのAとBの並び方は2通りある。

7つの要素の順列は7!通りである。

したがって、AとBが隣り合う並び方は、

$2! \times 7! = 2 \times 5040 = 10080$ 通り

(2) AとBの間にちょうど2人が並ぶ場合

AとBの間に2人が並ぶ塊を考える。まず、AとBの間に入れる2人を選ぶ組み合わせは ${6 \choose 2}$通りある。

AとBの間に入れる2人の並び方は2!通りである。

AとBの並び方は2通り(ABとBA)。

AとBの間に入った2人を含む塊を一つの要素として、残りの4人と合わせて5つの要素を並べる。

したがって、AとBの間にちょうど2人が並ぶ並び方は、

${6 \choose 2} \times 2! \times 2 \times 5! = 15 \times 2 \times 2 \times 120 = 7200$ 通り

(3) 女子同士が隣り合わない場合

まず男子A, B, C, D, Eを並べる。これは5!通り。

次に、男子の間に女子を並べる場所を選ぶ。男子5人の間と両端の計6箇所から3箇所を選び、そこに女子を並べる。これは${6 \choose 3}$通り。

選んだ場所に女子F, G, Hを並べる順列は3!通り。

したがって、女子同士が隣り合わない並び方は、

$5! \times {6 \choose 3} \times 3! = 120 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 6 = 120 \times 20 \times 6 = 14400$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 10080通り

(2) 7200通り

(3) 14400通り