AとBの2人がじゃんけんをして、どちらかが3回先に勝ったところでゲームを終了する。引き分けがないとき、勝負の分かれ方は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

AとBの2人がじゃんけんをして、どちらかが3回先に勝ったところでゲームを終了する。引き分けがないとき、勝負の分かれ方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

どちらかが3回勝った時点で終了するため、最大で5回じゃんけんをすることになる。（例：Aが3回、Bが2回勝利）。

まず、Aが3回勝ってゲームが終わる場合を考える。

Aが3回目に勝つパターンは、1回目、2回目にAが勝つかBが勝つかで場合分けできる。

* Aが3回目に勝つ時、Aがちょうど3回で勝つ場合: AAA (1通り)

* Aが3回目に勝つ時、Aが4回目で勝つ場合: BAAA, ABAA, AABA (3通り)

* Aが3回目に勝つ時、Aが5回目で勝つ場合: BBAAA, BABAA, BAABA, ABBAA, ABABA, AABBA (6通り)

同様に、Bが3回勝ってゲームが終わる場合を考える。

* Bが3回目に勝つ時、Bがちょうど3回で勝つ場合: BBB (1通り)

* Bが3回目に勝つ時、Bが4回目で勝つ場合: ABBB, BABB, BBAB (3通り)

* Bが3回目に勝つ時、Bが5回目で勝つ場合: AABBB, ABABB, ABBAB, BAABB, BABAB, BBAAB (6通り)

Aが勝つ場合とBが勝つ場合を足し合わせる。

Aが勝つ場合の数は $1 + 3 + 6 = 10$ 通り

Bが勝つ場合の数は $1 + 3 + 6 = 10$ 通り

したがって、勝負の分かれ方は $10 + 10 = 20$ 通り

あるいは、組み合わせの考え方を使うこともできる。Aが3回勝つ場合を考える。Aが最後に勝つのは確定している。残りの2回を、それまでのゲームで何回勝つかを考えれば良い。

3回で終わる場合：AAA, BBB (1通りずつ)

4回で終わる場合：残り3回のうち、Aが2回、Bが1回勝つ。Aが最後に勝つので、残りの3回からBが勝つ場所を1つ選べば良い。これは $_{3}C_{1} = 3$ 通り。AとBを入れ替えても同様なので、合計 $2 \times 3 = 6$ 通り。

5回で終わる場合：残り4回のうち、Aが2回、Bが2回勝つ。Aが最後に勝つので、残りの4回からBが勝つ場所を2つ選べば良い。これは $_{4}C_{2} = 6$ 通り。AとBを入れ替えても同様なので、合計 $2 \times 6 = 12$ 通り。

合計 $2 + 6 + 12 = 20$ 通り

3. 最終的な答え

20通り