生徒4人と先生3人がいる。 (1) 7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方は何通りか。 (2) 7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方は何通りか。 (3) 7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶとき、選び方は何通りか。 (4) 7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は何通りか。

1. 問題の内容

生徒4人と先生3人がいる。

(1) 7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方は何通りか。

(2) 7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方は何通りか。

(3) 7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶとき、選び方は何通りか。

(4) 7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 生徒4人を1つの塊と考える。すると、先生3人と生徒の塊の合計4つを並べる並び方は $4!$ 通り。さらに、生徒4人の中での並び方は $4!$ 通り。よって、求める並び方は、

$4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ 通り。

(2) まず、生徒4人を並べる並び方は $4!$ 通り。

次に、生徒4人の間の3箇所と、両端の合計5箇所から3箇所を選んで先生を並べる。これは ${}_5 P_3$ 通り。

よって、求める並び方は、

$4! \times {}_5 P_3 = 24 \times (5 \times 4 \times 3) = 24 \times 60 = 1440$ 通り。

(3) 生徒4人から2人を選ぶ選び方は ${}_4 C_2$ 通り。

先生3人から2人を選ぶ選び方は ${}_3 C_2$ 通り。

よって、求める選び方は、

${}_4 C_2 \times {}_3 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 6 \times 3 = 18$ 通り。

(4) 全体の選び方から先生が1人も選ばれない選び方を引けばよい。

7人から3人を選ぶ選び方は ${}_7 C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

生徒4人から3人を選ぶ選び方は ${}_4 C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通り。

よって、少なくとも1人は先生である選び方は、

$35 - 4 = 31$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 576 通り

(2) 1440 通り

(3) 18 通り

(4) 31 通り