12本のくじの中に3本の当たりくじがある。引いたくじを元に戻しながら、1本ずつ3回引くとき、当たりくじを1回だけ引く確率を求める。

1. 問題の内容

12本のくじの中に3本の当たりくじがある。引いたくじを元に戻しながら、1本ずつ3回引くとき、当たりくじを1回だけ引く確率を求める。

2. 解き方の手順

当たりを引く確率を $p$、外れを引く確率を $q$ とすると、

$p = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$q = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

3回引いて1回だけ当たる確率は、当たり、外れ、外れの順番で引く確率、外れ、当たり、外れの順番で引く確率、外れ、外れ、当たりの順番で引く確率の3つを足し合わせたものである。

それぞれの確率は、

$\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4}$

$\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4}$

$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}$

である。

これらはすべて等しく $\frac{9}{64}$ である。

したがって、1回だけ当たる確率は、

$3 \times \frac{9}{64} = \frac{27}{64}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{64}$