表に与えられたデータに基づいて、変数xの分散と標準偏差、xとyの共分散、相関係数を計算し、xとyの相関関係の種類を答える問題です。

1. 問題の内容

表に与えられたデータに基づいて、変数xの分散と標準偏差、xとyの共分散、相関係数を計算し、xとyの相関関係の種類を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、xとyの平均値を求めます。

$\bar{x} = \frac{25}{3}$, $\bar{y} = \frac{20}{3}$

次に、xの分散を求めます。分散は、各データ点と平均値の差の二乗の平均です。

$s_x^2 = \frac{1}{3}[(8-\frac{25}{3})^2 + (2-\frac{25}{3})^2 + (6-\frac{25}{3})^2] = \frac{1}{3}[(\frac{-1}{3})^2 + (\frac{-19}{3})^2 + (\frac{-7}{3})^2] = \frac{1}{3}[\frac{1}{9} + \frac{361}{9} + \frac{49}{9}] = \frac{1}{3} \cdot \frac{411}{9} = \frac{137}{9} \approx 15.22$

したがって、xの分散は$\frac{137}{9}$です。

xの標準偏差は分散の平方根です。

$s_x = \sqrt{\frac{137}{9}} = \frac{\sqrt{137}}{3} \approx \frac{11.7}{3} = 3.9$

したがって、xの標準偏差は$3.9$です。

次に、xとyの共分散を求めます。共分散は、各データ点について、xの偏差とyの偏差の積の平均です。

$s_{xy} = \frac{1}{3}[(8-\frac{25}{3})(5-\frac{20}{3}) + (2-\frac{25}{3})(2-\frac{20}{3}) + (6-\frac{25}{3})(7-\frac{20}{3})] = \frac{1}{3}[(\frac{-1}{3})(\frac{-5}{3}) + (\frac{-19}{3})(\frac{-14}{3}) + (\frac{-7}{3})(\frac{1}{3})] = \frac{1}{3}[\frac{5}{9} + \frac{266}{9} + \frac{-7}{9}] = \frac{1}{3} \cdot \frac{264}{9} = \frac{88}{9} \approx 9.78$

したがって、xとyの共分散は$\frac{88}{9}$です。

次に、xとyの相関係数を求めます。相関係数は、共分散をxとyの標準偏差の積で割ったものです。

$\bar{y}=\frac{20}{3}$

$s_y^2 = \frac{1}{3}[(5-\frac{20}{3})^2 + (2-\frac{20}{3})^2 + (7-\frac{20}{3})^2] = \frac{1}{3}[(\frac{-5}{3})^2 + (\frac{-14}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2] = \frac{1}{3}[\frac{25}{9} + \frac{196}{9} + \frac{1}{9}] = \frac{1}{3} \cdot \frac{222}{9} = \frac{74}{9}$

$s_y = \sqrt{\frac{74}{9}} = \frac{\sqrt{74}}{3} \approx \frac{8.6}{3} = 2.87$

$r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{88/9}{\sqrt{137/9} \sqrt{74/9}} = \frac{88}{\sqrt{137 \cdot 74}} = \frac{88}{\sqrt{10138}} \approx \frac{88}{100.69} \approx 0.87$

$\sqrt{5} = 2.2$, $137 \approx 144$

$s_x \approx \frac{12}{3} = 4$

$74= 2*37$.

$s_y = \frac{\sqrt{74}}{3} \approx \frac{\sqrt{75}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx \frac{5 *1.732}{3} = \frac{8.66}{3} = 2.89$

$r = \frac{88/9}{4*\sqrt{74}/3} \frac{88/9}{4*2.89} = \frac{9.77}{11.56} = 0.84$

相関係数は$0.84$です。

xとyの間には正の相関があります。

3. 最終的な答え

(1) xの分散は 137/9 , 標準偏差は 3.9 個である。

(2) xとyの共分散は 9.78 である。

(3) xとyの相関係数は 0.84 である。

(4) xとyの間には 1 。