大人6人、子ども5人の計11人の中から4人を選ぶ。 (1) 大人2人、子ども2人を選ぶ方法は何通りあるか。 (2) 選ばれた4人に大人も子どもも含まれるような選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

大人6人、子ども5人の計11人の中から4人を選ぶ。

(1) 大人2人、子ども2人を選ぶ方法は何通りあるか。

(2) 選ばれた4人に大人も子どもも含まれるような選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、大人2人を選ぶ組み合わせの数を計算する。これは、6人の中から2人を選ぶ組み合わせなので、${}_6C_2$で表される。

次に、子ども2人を選ぶ組み合わせの数を計算する。これは、5人の中から2人を選ぶ組み合わせなので、${}_5C_2$で表される。

大人2人と子ども2人を選ぶ組み合わせの総数は、これらの組み合わせの積で求められる。

${}_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、大人2人と子ども2人を選ぶ組み合わせの総数は

$15 \times 10 = 150$ 通り

(2)

大人も子どもも含まれるように4人を選ぶ方法は、4人を選ぶすべての組み合わせから、大人だけを選ぶ組み合わせと子どもだけを選ぶ組み合わせを引くことで求められる。

4人を選ぶすべての組み合わせは、11人の中から4人を選ぶ組み合わせなので、${}_{11}C_4$で表される。

大人だけを選ぶ組み合わせは、6人の中から4人を選ぶ組み合わせなので、${}_6C_4$で表される。

子どもだけを選ぶ組み合わせは、5人の中から4人を選ぶ組み合わせなので、${}_5C_4$で表される。

${}_{11}C_4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$

${}_6C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

${}_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5$

したがって、大人も子どもも含まれるように4人を選ぶ組み合わせの総数は

$330 - 15 - 5 = 310$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 150通り

(2) 310通り