黒球3個、赤球4個、白球5個が入った袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を横一列に12個すべて並べる。 (1) どの赤球も隣り合わない確率$p$を求めよ。 (2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率$q$を求めよ。

1. 問題の内容

黒球3個、赤球4個、白球5個が入った袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を横一列に12個すべて並べる。

(1) どの赤球も隣り合わない確率$p$を求めよ。

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率$q$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$を求める。

まず、白球5個と黒球3個を並べる。この並べ方は、

$\frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

次に、この8個の球の間と両端の9箇所に赤球4個を並べる。この並べ方は、

$_{9}C_{4} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通り。

よって、どの赤球も隣り合わない並べ方は、 $56 \times 126 = 7056$通り。

全ての並べ方は、

$\frac{12!}{3!4!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 27720$通り。

したがって、求める確率は、

$p = \frac{7056}{27720} = \frac{7056/504}{27720/504} = \frac{14}{55}$

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率$q$を求める。

どの赤球も隣り合わず、かつ、どの黒球も隣り合わない場合を考える。

まず、白球5個を並べる。この並べ方は1通り。

次に、白球の間と両端の6箇所に黒球3個を並べる。この並べ方は、

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

さらに、黒球と白球の間と両端の9箇所に赤球4個を並べる。この並べ方は、

$_{9}C_{4} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通り。

したがって、どの赤球も隣り合わず、かつ、どの黒球も隣り合わない並べ方は、 $20 \times 126 = 2520$通り。

求める条件付き確率は、

$q = \frac{2520}{7056} = \frac{2520/504}{7056/504} = \frac{5}{14}$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{14}{55}$

(2) $q = \frac{5}{14}$