(1) サイコロを1回または2回振り、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。1回振って出た目を見て、2回目を振るかどうかを判断する場合、どのように判断するのが有利か。 (2) (1)と同様なゲームで、3回振ることも許されるとしたら、2回目、3回目を振るかどうかは、どのように判断するのが有利か。 ただし、(1),(2)とも有利、不利は得点の期待値によって判断するものとする。

1. 問題の内容

(1) サイコロを1回または2回振り、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。1回振って出た目を見て、2回目を振るかどうかを判断する場合、どのように判断するのが有利か。

(2) (1)と同様なゲームで、3回振ることも許されるとしたら、2回目、3回目を振るかどうかは、どのように判断するのが有利か。

ただし、(1),(2)とも有利、不利は得点の期待値によって判断するものとする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、サイコロを1回振った後の得点の期待値を計算します。サイコロの目は1から6なので、それぞれの出る確率は$\frac{1}{6}$です。したがって、1回目の得点の期待値$E_1$は以下のようになります。

$E_1 = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3.5$

次に、1回目の出目が$x$だったときに、2回目を振るべきか否かを考えます。2回目を振った場合の得点の期待値は常に3.5です。したがって、1回目の出目が3以下 ($x \le 3$) であれば、2回目を振った方が期待値が上がり、1回目の出目が4以上 ($x \ge 4$) であれば、2回目を振らない方が期待値が高くなります。

まとめると、

- 1回目の出目が1, 2, 3ならば、2回目を振る。

- 1回目の出目が4, 5, 6ならば、2回目を振らない。

(2)

3回振ることができる場合を考えます。

まず、2回目を振った後に3回目を振るべきかどうかを考えます。2回目を振った後の得点の期待値は3.5です。従って、2回目の出目が3以下 ($x \le 3$) なら3回目を振り、4以上 ($x \ge 4$) なら3回目を振らないのが最適です。

次に、1回目を振った後に2回目を振るべきかどうかを考えます。

1回目の出目を$x$とします。

- $x \le 3$ の場合：2回目を振ると、2回目の出目が3以下なら3回目を振り、4以上なら振らないという戦略を取ります。2回目を振ったときの得点の期待値を$E_2$とすると、

$E_2 = \frac{1}{6}(1+2+3) \times 3.5 + \frac{1}{6}(4+5+6) \times \frac{4+5+6}{3} = \frac{3}{6} \times 3.5 + \frac{3}{6} \times 5 = 1.75 + 2.5 = 4.25$

- $x \ge 4$ の場合：2回目を振ると、2回目の出目が3以下なら3回目を振り、4以上なら振らないという戦略を取ります。2回目を振ったときの得点の期待値は$E_2$とすると、

$E_2 = \frac{1}{6}(1+2+3) \times 3.5 + \frac{1}{6}(4+5+6) \times \frac{4+5+6}{3} = \frac{3}{6} \times 3.5 + \frac{3}{6} \times 5 = 1.75 + 2.5 = 4.25$

したがって、1回目の出目が$x$のとき、

- $x < 4.25$ ならば 2回目を振る (つまり 1,2,3,4のとき)

- $x \ge 4.25$ ならば 2回目を振らない (つまり 5,6 のとき)

まとめると、

- 1回目の出目が1, 2, 3, 4ならば、2回目を振る。

　- 2回目の出目が1, 2, 3ならば、3回目を振る。

　- 2回目の出目が4, 5, 6ならば、3回目を振らない。

- 1回目の出目が5, 6ならば、2回目を振らない。

3. 最終的な答え

(1) 1回目の出目が1, 2, 3ならば、2回目を振る。1回目の出目が4, 5, 6ならば、2回目を振らない。

(2) 1回目の出目が1, 2, 3, 4ならば、2回目を振る。その後、2回目の出目が1, 2, 3ならば3回目を振り、4, 5, 6ならば振らない。1回目の出目が5, 6ならば、2回目を振らない。