さいころを最大2回または3回振ることができるゲームについて、得点の期待値を最大化するために、2回目または3回目のサイコロを振るべきかどうかを判断する方法を求める問題です。得点は最後に出た目の数となります。

1. 問題の内容

さいころを最大2回または3回振ることができるゲームについて、得点の期待値を最大化するために、2回目または3回目のサイコロを振るべきかどうかを判断する方法を求める問題です。得点は最後に出た目の数となります。

2. 解き方の手順

(1) 2回振る場合

1回目の出目を$x$とします。2回目を振る場合、得点の期待値は常に3.5になります（さいころの目の平均）。したがって、1回目の出目$x$が3.5以下であれば、2回目を振るべきです。なぜなら、2回目を振ることで、平均的にはより高い得点が得られるからです。逆に、$x$が3.5より大きい（つまり4以上）であれば、2回目を振らずに1回目の出目を採用する方が有利です。

(2) 3回振る場合

まず、3回目のサイコロを振るかどうかを考えます。2回目の出目を$y$としたとき、上記(1)と同様に、3回目のサイコロを振る期待値は3.5なので、$y \leq 3$ならば3回目を振るべきで、$y \geq 4$ならば3回目を振るべきではありません。

次に、2回目のサイコロを振るかどうかを判断します。1回目の出目を$x$としたとき、2回サイコロを振った後の最大の得点の期待値を計算する必要があります。

2回目のサイコロを振る場合、

- 2回目の出目$y$が3以下の場合、3回目を振るので、その期待値は3.5です。この確率は $\frac{1}{2}$ です。

- 2回目の出目$y$が4以上の場合、3回目を振らないので、その期待値は$y$そのものです。この場合の期待値は$4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$です。

したがって、2回目のサイコロを振った後の最大の得点の期待値は

$3.5 \times \frac{1}{2} + \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3.5+2.5}{2} = \frac{6}{2} = 3$となります。

したがって、1回目の出目$x$が3以下ならば、2回目を振るべきです。逆に、$x$が4以上ならば、2回目を振るべきではありません。

3. 最終的な答え

(1) 2回振る場合: 1回目の出目が3以下の場合は2回目を振り、4以上の場合は2回目を振らない。

(2) 3回振る場合:

- 2回目の判断: 2回目の出目が3以下の場合は3回目を振り、4以上の場合は3回目を振らない。

- 1回目の判断: 1回目の出目が3以下の場合は2回目を振り、4以上の場合は2回目を振らない。