(1) サイコロを1回または2回振り、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。1回振って出た目を見て、2回目を振るかどうかを判断するとき、どのように判断するのが有利か。 (2) (1)と同様なゲームで、3回振ることも許されるとしたら、2回目、3回目を振るかどうかは、どのように判断するのが有利か。ただし、(1),(2)ともに有利、不利は得点の期待値によって判断するものとする。

1. 問題の内容

(1) サイコロを1回または2回振り、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。1回振って出た目を見て、2回目を振るかどうかを判断するとき、どのように判断するのが有利か。

(2) (1)と同様なゲームで、3回振ることも許されるとしたら、2回目、3回目を振るかどうかは、どのように判断するのが有利か。ただし、(1),(2)ともに有利、不利は得点の期待値によって判断するものとする。

2. 解き方の手順

(1)

サイコロを1回振ったときの出目の期待値は、

$E = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

1回振った結果が $x$ のとき、

* $x < 3.5$ ならば、2回目を振る方が期待値が高くなる。

* $x \ge 3.5$ ならば、2回目を振らない方が期待値が高くなる。

したがって、1回目に1,2,3が出たら2回目を振り、4,5,6が出たら2回目を振らないのが有利。

(2)

3回振れる場合を考える。2回目を振るかどうかの判断は、3回目を振るかどうかの判断に影響される。

まず、2回振った後、3回目を振るかどうかの判断を考える。

この場合、期待値は3.5であるから、2回目の出目が3以下なら3回目を振り、4以上なら振らないのが有利である。

次に、1回振った後、2回目を振るかどうかの判断を考える。

1回目に $x$ が出たとすると、

* $x \le 3$ の場合、2回目を振る。このとき、2回目の期待値は3.5なので、3回目を振るかどうかの判断は、2回目の出目が3以下なら3回目を振り、4以上なら振らない。この場合、3回目の期待値は

$\frac{1+2+3}{6} * 3.5 + \frac{4+5+6}{6} * \frac{4+5+6}{3} = 0.5 * 3.5 + 0.5 * 5 = 1.75+2.5 = 4.25$

* $x = 4$ の場合、2回目を振るべきかどうか考える必要がある。2回目を振った後の期待値は、上記と同じように4.25になる。4 < 4.25なので、2回目を振るのが有利。

* $x = 5$ の場合、2回目を振るべきかどうか考える必要がある。2回目を振った後の期待値は、上記と同じように4.25になる。5 > 4.25なので、2回目を振らないのが有利。

* $x = 6$ の場合、2回目を振るべきかどうか考える必要がある。2回目を振った後の期待値は、上記と同じように4.25になる。6 > 4.25なので、2回目を振らないのが有利。

従って、1回目に1,2,3,4が出たら2回目を振り、5,6が出たら2回目を振らない。

2回目を振った場合、2回目の出目が3以下なら3回目を振り、4以上なら振らない。

3. 最終的な答え

(1) 1回目に1,2,3が出たら2回目を振り、4,5,6が出たら2回目を振らないのが有利。

(2) 1回目に1,2,3,4が出たら2回目を振り、5,6が出たら2回目を振らない。2回目を振った場合、2回目の出目が3以下なら3回目を振り、4以上なら振らない。