5人の生徒の国語の小テストの得点が4, 6, $a$, 8, $12-a$で与えられており、分散が4である。このとき、平均値と$a$の値を求める。

1. 問題の内容

5人の生徒の国語の小テストの得点が4, 6, $a$, 8, $12-a$で与えられており、分散が4である。このとき、平均値と$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、平均値を$m$とおき、分散の定義を用いて$a$を求める。

5人の得点の合計は $4 + 6 + a + 8 + (12-a) = 30$である。

よって、平均値$m$は

$m = \frac{30}{5} = 6$

次に、分散の定義より、各得点と平均値の差の二乗の平均が分散である。したがって、

$\frac{(4-6)^2 + (6-6)^2 + (a-6)^2 + (8-6)^2 + (12-a-6)^2}{5} = 4$

$\frac{(-2)^2 + 0^2 + (a-6)^2 + 2^2 + (6-a)^2}{5} = 4$

$\frac{4 + 0 + (a-6)^2 + 4 + (6-a)^2}{5} = 4$

$\frac{8 + 2(a-6)^2}{5} = 4$

$8 + 2(a-6)^2 = 20$

$2(a-6)^2 = 12$

$(a-6)^2 = 6$

$a-6 = \pm\sqrt{6}$

$a = 6 \pm\sqrt{6}$

選択肢をみると、$a$が整数なので、計算間違いをしている。

正しい計算は以下の通り。

$4 + 6 + a + 8 + 12 - a = 30$

平均 $m = 30/5 = 6$

分散$\frac{1}{5}[(4-6)^2 + (6-6)^2 + (a-6)^2 + (8-6)^2 + (12-a-6)^2] = 4$

$\frac{1}{5}[4 + 0 + (a-6)^2 + 4 + (6-a)^2] = 4$

$8 + 2(a-6)^2 = 20$

$2(a-6)^2 = 12$

$(a-6)^2 = 6$

ここで、問題文の解釈を少し変える。選択肢にあるように平均値と$a$の値を求める。

平均値は6だと計算済みである。

$a$の候補は、0, 7, 0, 8, 9。

$a=0$の場合、$(0-6)^2 = 36 \neq 6$

$a=7$の場合、$(7-6)^2 = 1 \neq 6$

$a=8$の場合、$(8-6)^2 = 4 \neq 6$

$a=9$の場合、$(9-6)^2 = 9 \neq 6$

分散が4であるという条件を満たす$a$が見つからない。

平均値が6であることは確定なので、平均値を求めるという指示は無視して、$a$のみを求めることにする。

上記の計算では、$a-6 = \pm\sqrt{6}$となり、$a = 6 \pm\sqrt{6}$。

これに対応する選択肢はない。

問題文に誤りがあると仮定し、分散が5であった場合を考える。

$8 + 2(a-6)^2 = 25$

$2(a-6)^2 = 17$

$(a-6)^2 = 8.5$

この場合でも$a$は整数にはならない。

問題文の分散が9だった場合を考える

$8 + 2(a-6)^2 = 45$

$2(a-6)^2 = 37$

$(a-6)^2 = 18.5$

再度、問題文を見直すと、4, 6, a, 8, 12-aの平均は6

分散が4

$\frac{1}{5}((4-6)^2+(6-6)^2+(a-6)^2+(8-6)^2+(12-a-6)^2)=4$

$(a-6)^2+(6-a)^2+8=20$

$2(a-6)^2=12$

$(a-6)^2=6$

選択肢の中で、aが整数のものを探す

a=7のとき、1

a=8のとき、4

a=9のとき、9

どれでもない

問題に誤りがある

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、正しい解答は存在しない。しかし、最も近い選択肢を選ぶとすれば、平均値が6なので、選択肢Bが可能性が高いが、aの値が11だと分散が4にならない。

正答なし