黒球3個、赤球4個、白球5個が入った袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を横一列に12個全て並べる。 (1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求めよ。 (2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ。

1. 問題の内容

黒球3個、赤球4個、白球5個が入った袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を横一列に12個全て並べる。

(1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求めよ。

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、全ての並べ方を求める。これは12個の球を並べる順列なので、

$\frac{12!}{3!4!5!} = 27720$ 通り。

次に、赤球が隣り合わない並べ方を求める。

まず、黒球と白球を並べる。これは8個の球を並べる順列なので、

$\frac{8!}{3!5!} = 56$ 通り。

次に、赤球を並べる。黒球と白球の間にできる9個の隙間から4個を選び、赤球を並べる。

これは ${}_9 C_4 = \frac{9!}{4!5!} = 126$ 通り。

したがって、赤球が隣り合わない並べ方は、 $56 \times 126 = 7056$ 通り。

よって、求める確率は

$p = \frac{7056}{27720} = \frac{7056 \div 504}{27720 \div 504} = \frac{14}{55}$

(2)

赤球が隣り合わないという条件のもとで、さらに黒球も隣り合わない確率を求める。

赤球が隣り合わない並べ方は7056通りであった。

この中で黒球も隣り合わないものを数える。

まず白球5個を並べる。_W_W_W_W_W_ この隙間6箇所から赤球を置く4箇所を選ぶ。 ${}_6 C_4=15$。

次に残りの2箇所に黒球を置く。${}_7 C_3=35$から黒球が隣り合う場合を引く。

_W_W_W_W_W_ の両端または隣り合う白球の間に黒球を置くパターンは5箇所なので、6箇所から2箇所を選ぶ組み合わせ${}_6 C_2=15$からこれらの5パターンを引くと10通り。

残りの2箇所を、2個の黒球をひとまとめにして考えて、${}_7 C_2=21$

黒球3つが隣り合わないように並べる。

${}_{6+1}C_3 = {}_{7}C_3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

そのうち、赤球が隣り合わない場合の数は ${}_6 C_4 = 15$

白球5個を並べた隙間に赤球4個を並べる方法は ${}_6 C_4 = 15$ 通り

この隙間のうち3つの黒球を並べる方法は ${}_7 C_3 = 35$ 通り

赤球も黒球も隣り合わない確率は $\frac{{}_6 C_4 \times {}_5 C_3}{\frac{12!}{5!4!3!}} = \frac{15 \times 10}{27720} = \frac{150}{27720} = \frac{5}{924}$

この中で、まず白球5個を並べた隙間6箇所のうち4箇所に赤球を並べ、残った7箇所から黒球を3箇所選ぶとき、黒球が隣り合わないように並べる。

${}_6 C_4 \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}=15 \times 35$

黒球も隣り合わない確率は ${}_6 C_4 \times {}_5 C_3 = 15 \times 10 = 150$ 通り。

したがって、 $q = \frac{150}{7056} = \frac{25}{1176}$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{14}{55}$

(2) $q = \frac{25}{1176}$