袋の中に赤球2個と青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、それが赤球ならば代わりに青球1個を入れ、青球ならば代わりに赤球1個を入れる。袋に入っている3個の球がすべて青球になるとき、硬貨を1枚もらう。 (1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。 (2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。 (3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個と青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、それが赤球ならば代わりに青球1個を入れ、青球ならば代わりに赤球1個を入れる。袋に入っている3個の球がすべて青球になるとき、硬貨を1枚もらう。

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率

1回目の操作で赤球を取り出すと、袋の中は赤球1個と青球2個になる。

2回目の操作ですべて青球になるのは、赤球を取り出すしかない。

1回目の操作で赤球を取り出す確率は $2/3$。

その次に赤球を取り出す確率は $1/3$。

したがって、2回目の操作で硬貨をもらう確率は、

$2/3 \times 1/3 = 2/9$

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。

袋の中の球の総数は常に3個であり、操作によって赤球と青球の総数が入れ替わるだけなので、赤球の個数は常に整数である。

初期状態で赤球が2個なので、n回目の操作後、赤球の個数は 2 - (硬貨の枚数) となる。

硬貨をもらうのは、赤球の個数が0になったときなので、硬貨をもらった回数をkとすると、

2 - k = 0 つまり k = 2

奇数回目に硬貨をもらうということは、それまでに得た硬貨の枚数が奇数枚ということだが、硬貨をもらうためには常に偶数回の操作が必要なので、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

8回の操作で硬貨を1枚もらうためには、2回目に硬貨をもらい、その後6回は硬貨をもらわない必要がある。

または、4回目、6回目、8回目に硬貨をもらう確率を求める。

2回目に硬貨をもらう確率が $2/9$ であることを(1)で求めた。

8回の操作で硬貨を1枚だけもらうパターンは、2回目にもらい、残りの6回はもらわない場合だけ。

2回目に硬貨をもらった後、赤球は0個、青球は3個。ここから6回操作しても赤球が3個、青球が0個になることがあってはならない。

これはありえないので、2回目以外に硬貨をもらってはいけない。

2回目に硬貨をもらう確率は $2/9$。

2回目に硬貨をもらわなかった場合は、8回目の操作で硬貨を1枚もらうことはない。なぜなら、2回目に硬貨をもらわなかった場合、最低でも赤玉が１つ存在する状態が維持され、そこから6回の操作で硬貨を得ることは不可能だからである。

例えば、1回目に赤球をひいて2回目に青球を引いたとき、玉の状態は初期状態に戻り赤球2個と青球1個になっている。

1回目に青球を引いた場合は、赤球3個、青球0個の状態になる。

2回目に硬貨をもらい、その後6回は硬貨をもらわない確率は $2/9$ で、その他の操作では必ず硬貨をもらうことになる。したがって、8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率も、$2/9$。

3. 最終的な答え

(1) $2/9$

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) $2/9$