原点から出発する点Pが座標平面上を動く。サイコロを投げて1,2,3,4の目が出たらx軸方向に+1、それ以外の目が出たらy軸方向に+1移動する。サイコロを6回投げた後のPのx座標をX、y座標をYとするとき、2X-Yの期待値と分散を求める。

1. 問題の内容

原点から出発する点Pが座標平面上を動く。サイコロを投げて1,2,3,4の目が出たらx軸方向に+1、それ以外の目が出たらy軸方向に+1移動する。サイコロを6回投げた後のPのx座標をX、y座標をYとするとき、2X-Yの期待値と分散を求める。

2. 解き方の手順

Xは成功確率 $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ の二項分布 $B(6, \frac{2}{3})$ に従う。

Yは成功確率 $1 - p = \frac{1}{3}$ の二項分布 $B(6, \frac{1}{3})$ に従う。

二項分布の期待値と分散はそれぞれ以下で与えられる。

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

Xの期待値：

$E(X) = 6 \times \frac{2}{3} = 4$

Xの分散：

$V(X) = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

Yの期待値：

$E(Y) = 6 \times \frac{1}{3} = 2$

Yの分散：

$V(Y) = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

$2X - Y$ の期待値：

$E(2X - Y) = 2E(X) - E(Y) = 2 \times 4 - 2 = 8 - 2 = 6$

XとYは独立なので、$2X - Y$ の分散：

$V(2X - Y) = V(2X) + V(-Y) = 4V(X) + V(Y) = 4 \times \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} + \frac{4}{3} = \frac{20}{3}$

3. 最終的な答え

2X-Yの期待値: 6

2X-Yの分散: 20/3