原点から出発し、座標平面上を動く点Pがある。サイコロを投げて1, 2, 3, 4の目が出たらx軸方向に+1、それ以外の目が出たらy軸方向に+1移動する。サイコロを6回投げた後の点Pのx座標をX、y座標をYとするとき、2X-Yの期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

原点から出発し、座標平面上を動く点Pがある。サイコロを投げて1, 2, 3, 4の目が出たらx軸方向に+1、それ以外の目が出たらy軸方向に+1移動する。サイコロを6回投げた後の点Pのx座標をX、y座標をYとするとき、2X-Yの期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、確率変数XとYの期待値と分散を求める。

サイコロを1回投げるごとにx軸方向に+1移動する確率を $p$ とすると、 $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。したがって、y軸方向に+1移動する確率は $1-p = \frac{1}{3}$。

Xは二項分布に従い、$X \sim B(6, \frac{2}{3})$。

Yも二項分布に従い、$Y \sim B(6, \frac{1}{3})$。

二項分布の期待値は $E(X) = np$ で、分散は $V(X) = np(1-p)$ である。

したがって、

$E(X) = 6 \times \frac{2}{3} = 4$

$V(X) = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$E(Y) = 6 \times \frac{1}{3} = 2$

$V(Y) = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

次に、2X-Yの期待値と分散を求める。期待値の線形性より、

$E(2X - Y) = 2E(X) - E(Y) = 2 \times 4 - 2 = 8 - 2 = 6$

XとYは独立なので、分散は次のようになる。

$V(2X - Y) = V(2X) + V(-Y) = 4V(X) + V(Y) = 4 \times \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} + \frac{4}{3} = \frac{20}{3}$

3. 最終的な答え

期待値: 6

分散: 20/3

よって選択肢に適切なものはない。

しかし、問題文には選択肢から選べという指示があるようなので、もっとも近い選択肢を選ぶ必要がある。

期待値が6である選択肢は4のみである。しかし分散は12と異なっている。

確認のため計算をやり直したが、期待値は6、分散は20/3で変わらない。

選択肢を訂正して答えるならば、

期待値:6 分散: 20/3