袋の中に黒球3個、赤球4個、白球5個が入っている。この袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を順に横一列に12個すべて並べる。 (1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求めよ。 (2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に黒球3個、赤球4個、白球5個が入っている。この袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を順に横一列に12個すべて並べる。

(1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求めよ。

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求める。

まず、12個の球の並べ方の総数を求める。これは同じものを含む順列なので、

$\frac{12!}{3!4!5!}$通り。

次に、赤球が隣り合わないように並べる場合の数を求める。

まず、赤球以外の球（黒球3個、白球5個）を並べる。これらの球の並べ方は、

$\frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

次に、これらの8個の球の間にできる9個の隙間（両端を含む）から4個を選び、そこに赤球を1個ずつ入れる。この選び方は、${}_9 C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り。

したがって、赤球が隣り合わない並べ方は、 $56 \times 126 = 7056$ 通り。

よって、求める確率 $p$ は、

$p = \frac{7056}{\frac{12!}{3!4!5!}} = \frac{7056 \times 3!4!5!}{12!} = \frac{7056 \times 6 \times 24 \times 120}{479001600} = \frac{12190208}{479001600} = \frac{7}{55}$

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求める。

どの赤球も隣り合わないという条件の下で、どの黒球も隣り合わない確率を求める。

まず、赤球以外(黒3、白5)を並べる並べ方について考える。

$\frac{8!}{3!5!} = 56$通り。

この状態での赤球の入り方は${}_9 C_4$通り。

したがって、赤球が隣り合わない全体の並び方は $56 \times 126 = 7056$通り。

次に、赤球と黒球が隣り合わないように並べることを考える。

まず、白球5個を並べる。

白 白 白 白 白

この隙間は6個なので、まず、この6個の隙間に黒球を置くことを考える。どの黒球も隣り合わないので、${}_6C_3 = 20$通りの置き方がある。

次に、残った9個の隙間から、4つ選んで赤球を置く${}_9 C_4 = 126$通り。

よって、条件を満たす並び方は $20\times 126=2520$通り。

条件付き確率 $q$ は、

$q = \frac{2520}{7056} = \frac{5}{14}$

3. 最終的な答え

(1) どの赤球も隣り合わない確率 $p = \frac{7}{55}$

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q = \frac{5}{14}$