袋の中に黒球3個、赤球4個、白球5個が入っている。この袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の球が取り出される確率は等しいとする。 (1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求めよ。 (2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に黒球3個、赤球4個、白球5個が入っている。この袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の球が取り出される確率は等しいとする。

(1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求めよ。

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求める。

まず、12個の球を並べる総数は、同じものを含む順列の公式より、

$\frac{12!}{3!4!5!}$である。

赤球が隣り合わない並べ方を考える。まず、赤球以外の球、つまり黒球3個と白球5個を並べる。この並べ方は、

$\frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

次に、これらの8個の球の間にできる隙間（8個の球の両端を含む）9箇所から4箇所を選び、そこに赤球を1個ずつ置く。この選び方は ${}_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り。

よって、赤球が隣り合わない並べ方の総数は $56 \times 126 = 7056$ 通り。

したがって、求める確率 $p$ は、

$p = \frac{7056}{\frac{12!}{3!4!5!}} = \frac{7056 \times 3! \times 4! \times 5!}{12!} = \frac{7056 \times 6 \times 24 \times 120}{479001600} = \frac{12192768}{479001600} = \frac{154}{6006} = \frac{77}{3003} = \frac{11}{429}$

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求める。

赤球が隣り合わず、かつ黒球も隣り合わない並べ方を考える。

まず、白球5個を並べる。

\_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_

白球の間にできる隙間（両端を含む）6箇所から黒球を置く3箇所を選ぶ。この選び方は ${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

次に、黒球と白球が並んだ状態の隙間から、赤球を置く4箇所を選ぶ。黒球3個と白球5個を並べると、合計8個の球が並び、9個の隙間ができる。

この9個の隙間から赤球を置く4箇所を選ぶ。この選び方は ${}_9C_4 = 126$ 通り。

よって、赤球も黒球も隣り合わない並べ方の総数は $20 \times \frac{5!5!}{5!} = 20 \times 5! = 20 \times 120 \times 126 = 302400$

赤球が隣り合わない並べ方は7056通りであった。そのうち、黒球も隣り合わない並べ方の数を求める。

白球5個を並べる並べ方は1通り。

\_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_

この隙間6箇所から黒球を置く3箇所を選ぶ。${}_6C_3 = 20$通り。

白球と黒球の並びでできる9箇所の隙間から赤球を置く4箇所を選ぶ。${}_9C_4 = 126$通り。

したがって、赤球も黒球も隣り合わない並べ方は $20 \times 126 = 2520$通り。

$q = \frac{2520}{7056} = \frac{2520 / 2520}{7056 / 2520} = \frac{5}{14}$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{11}{429}$

(2) $q = \frac{5}{14}$