黒球3個、赤球4個、白球5個が入った袋から球を1個ずつ取り出し、横一列に12個並べる。 (1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求める。 (2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求める。

1. 問題の内容

黒球3個、赤球4個、白球5個が入った袋から球を1個ずつ取り出し、横一列に12個並べる。

(1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求める。

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ の計算

まず、12個の球の並べ方の総数を計算する。これは同じものを含む順列なので、

$\frac{12!}{3!4!5!} = 27720$

次に、赤球が隣り合わない並べ方を考える。まず、赤球以外の球（黒球3個、白球5個）を並べる。

この並べ方は、

$\frac{8!}{3!5!} = 56$ 通り

次に、並べた8個の球の間と両端の9箇所から4箇所を選んで、そこに赤球を配置する。

この選び方は、

${}_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = 126$ 通り

したがって、赤球が隣り合わない並べ方は、

$56 \times 126 = 7056$ 通り

よって、求める確率 $p$ は、

$p = \frac{7056}{27720} = \frac{7056 \div 504}{27720 \div 504} = \frac{14}{55}$

(2) 赤球が隣り合わず、かつ黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ の計算

赤球が隣り合わないという条件のもとで、黒球も隣り合わない確率を求める。

まず、赤球以外の球を並べたとき、隣り合う黒球の個数を考える。

赤球以外の8個の球の並び方の中で、どの黒球も隣り合わないものを数える。

これは白球5個を並べ、その間と両端の6箇所から3箇所を選んで黒球を置く並べ方である。

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = 20$ 通り

赤球も黒球も隣り合わない並べ方を数える。

白球5個、黒球3個をまず黒球が隣り合わないように並べる。これは20通り。

次に、並べた8個の球の間と両端の9箇所から4箇所を選んで、そこに赤球を配置する。

この選び方は、${}_9C_4 = 126$ 通り。

よって、赤球も黒球も隣り合わない並べ方は、

$20 \times 126 = 2520$ 通り。

求める条件付き確率 $q$ は、赤球が隣り合わないという条件のもとで黒球も隣り合わない確率なので、

$q = \frac{2520}{7056} = \frac{2520 \div 504}{7056 \div 504} = \frac{5}{14}$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{14}{55}$

(2) $q = \frac{5}{14}$