袋の中に赤球2個と青球1個が入っている。袋から球を1個取り出し、それが赤球なら代わりに青球を入れ、青球なら代わりに赤球を入れる操作を繰り返す。袋の中の球が全て青球になったとき、硬貨を1枚もらう。 (1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。 (2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。 (3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個と青球1個が入っている。袋から球を1個取り出し、それが赤球なら代わりに青球を入れ、青球なら代わりに赤球を入れる操作を繰り返す。袋の中の球が全て青球になったとき、硬貨を1枚もらう。

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

1回目の操作で、袋の中身は赤球2個、青球1個。

硬貨をもらうためには、3個とも青球になる必要がある。

1回目の操作で赤球を引く確率は $\frac{2}{3}$。このとき、袋の中身は赤球1個、青球2個になる。

1回目の操作で青球を引く確率は $\frac{1}{3}$。このとき、袋の中身は赤球3個になる。

2回目の操作で硬貨をもらうためには、1回目の操作で赤球を引いて、2回目の操作でも赤球を引く必要がある。

1回目の操作で赤球を引き、2回目の操作で赤球を引く確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

したがって2回目の操作で硬貨をもらう確率は$0$。

2回目の操作でも硬貨をもらうことはないことを示す。

袋の中の青球の個数が3つになるためには、操作の過程で少なくとも2つの青球がある状態を経由する必要がある。

初期状態では青球が1つなので、青球が2つの状態になるには、赤球を取り出す必要がある。

青球が2つの状態から3つの青球にするためには、赤球を取り出す必要がある。

したがって、2回の操作を行う必要がある。

初期状態から2回の操作で3つの青球を得ることはできない。

(2)

奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。

袋の中の青球の数は常に奇数個である。

初め、青球は1個である。

赤球を取り出すと青球が1個増え、青球を取り出すと青球が1個減る。

したがって、青球の数は常に奇数個である。

硬貨をもらうためには、青球の数が3個になる必要がある。

奇数回目に青球の数が3個になることはないため、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3)

8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

硬貨をもらうためには、青球が3個になる必要がある。

奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないので、硬貨をもらうのは偶数回目の操作である必要がある。

したがって、8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚であるのは、2回目、4回目、6回目、8回目のいずれかで硬貨をもらう場合である。

ただし、2回目の操作で硬貨をもらうことはない。

4回目で硬貨をもらう場合、1回目から3回目までは硬貨をもらわず、4回目で硬貨をもらう。

6回目で硬貨をもらう場合、1回目から5回目までは硬貨をもらわず、6回目で硬貨をもらう。

8回目で硬貨をもらう場合、1回目から7回目までは硬貨をもらわず、8回目で硬貨をもらう。

あるn回目の操作で硬貨をもらう確率を$P(n)$とする。

まず、n回目の操作で初めて硬貨をもらう確率を$q_n$とする。

例えば、$q_4$は1,2,3回目で硬貨をもらわず、4回目で硬貨をもらう確率である。

8回目で硬貨を1枚だけもらう確率は、1回目から7回目まで硬貨をもらわず、8回目で硬貨をもらう確率である。

この確率は $q_8$ である。

8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を計算する。

4回目に初めて硬貨をもらう確率 $q_4$:

1回目に赤を引く確率 $\frac{2}{3}$。袋は赤1青2になる。

2回目に赤を引く確率 $\frac{1}{3}$。袋は青3になる。

よって $q_2 = \frac{2}{3} * \frac{1}{3} = \frac{2}{9} = 0$

状態遷移を考える。状態を(赤玉の数, 青玉の数)で表す。

初期状態は(2, 1)。

1回の操作で、(2, 1) -> (1, 2) または (3, 0)

(1, 2) -> (2, 1) または (0, 3)

(3, 0) -> (2, 1)

ある状態$S$から状態$T$へ遷移する確率を$P(S \rightarrow T)$と表す。

硬貨をもらう状態(0,3)を$G$と書く。

$p_n$をn回目の操作で硬貨をもらう確率、$q_n$をn回目の操作で初めて硬貨をもらう確率とする。

$q_4 = P((2,1) \rightarrow (1,2) \rightarrow (2,1) \rightarrow (0,3)) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$

2回操作しても (2,1)に戻ることがある。 $P((2,1) \rightarrow (1,2) \rightarrow (2,1)) = \frac{2}{3} * \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 奇数回の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) 確率を求めることは困難です。