袋の中に赤球2個、青球1個が入っている。袋から球を1個取り出し、赤球なら代わりに青球を、青球なら代わりに赤球を袋に入れる。袋の中の球が全て青球になったとき、硬貨を1枚もらう。 (1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。 (2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。 (3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個、青球1個が入っている。袋から球を1個取り出し、赤球なら代わりに青球を、青球なら代わりに赤球を袋に入れる。袋の中の球が全て青球になったとき、硬貨を1枚もらう。

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率

最初に袋の中は赤球2個、青球1個である。硬貨をもらうには、3個とも青球になる必要がある。

1回目の操作で赤球を取り出す確率は $\frac{2}{3}$、青球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$。

1回目の操作で赤球を取り出した場合、袋の中は赤球1個、青球2個となる。

2回目の操作で赤球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$。

2回目の操作で青球を取り出す確率は $\frac{2}{3}$。

1回目の操作で青球を取り出した場合、袋の中は赤球3個となる。

2回目の操作で赤球を取り出す確率は 1。

2回目の操作で硬貨をもらうのは、1回目に赤球を取り出し、2回目に赤球を取り出した場合のみである。

したがって、求める確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことの証明

操作を行うたびに、袋の中の青球の個数は、0個、1個、2個、3個のいずれかである。

奇数回目の操作後、袋の中の青球の個数は、必ず奇数個になる。

最初の青球の個数は1個であり、奇数個である。

赤球を取り出すと、青球が1つ増えるため、青球の個数は偶数個となる。

青球を取り出すと、青球が1つ減るため、青球の個数は偶数個となる。

奇数回目の操作後、青球の個数が奇数個であれば、偶数回目の操作後には青球の個数は偶数個となる。

偶数回目の操作後、青球の個数が偶数個であれば、奇数回目の操作後には青球の個数は奇数個となる。

したがって、奇数回目の操作で青球が3個になることはない。

ゆえに、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率

8回の操作でちょうど1枚硬貨をもらうということは、偶数回目の操作で1回だけ硬貨をもらい、それ以外の操作では硬貨をもらわないということである。

硬貨をもらうためには、直前の状態が赤球1個、青球2個である必要がある。

状態が赤球2個、青球1個の状態をA、赤球1個、青球2個の状態をBとする。

Aの状態からBの状態になる確率は $\frac{2}{3}$、Bの状態からAの状態になる確率は $\frac{1}{3}$である。

Aの状態からAの状態に戻る確率は $\frac{1}{3}$、Bの状態からBの状態に戻る確率は $\frac{2}{3}$である。

8回の操作でちょうど1枚硬貨をもらう確率は、6回目までに状態Aから状態Bに移り、8回目に硬貨をもらう場合を考える。

6回目までに状態Bに到達し、7回目に状態Bから状態Aに戻り、8回目に硬貨をもらう確率を求める。

7回目までに状態Bに到達し、8回目に硬貨をもらう確率は、7回目までに状態Bに到達し、8回目に赤球を引く確率である。

8回目に硬貨をもらうのは、2回目、4回目、6回目、8回目のいずれかである。

2回目に硬貨をもらう確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。その後6回は状態AとBの間を行き来し、硬貨をもらわない確率を求める。

2回目に硬貨をもらう確率 $\times$ その後6回硬貨をもらわない確率 + 4回目に硬貨をもらう確率 $\times$ その後4回硬貨をもらわない確率 + 6回目に硬貨をもらう確率 $\times$ その後2回硬貨をもらわない確率 + 8回目に硬貨をもらう確率

求める確率は $\left(\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \right) \times \left(\frac{2}{3}\right)^6$

2回目に硬貨をもらう確率は $\frac{2}{9}$。残り6回の操作では状態Aに戻ってくる必要があり、確率は $(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})^6$.

4回目に硬貨をもらう確率は $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$

求める確率 = $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}(\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^6 + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} (\frac{2}{3}+\frac{1}{3}) \cdot ...$

$\frac{2}{9}(\frac{1}{3})^6 = \frac{2}{729}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない（証明は上記参照）

(3) $\frac{2}{729}$