袋の中に最初に赤球2個、青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、それが赤球なら代わりに青球1個を袋に入れ、青球なら代わりに赤球1個を袋に入れる。袋に入っている3個の球がすべて青球になるとき、硬貨を1枚もらう。 (1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。 (2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ。 (3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に最初に赤球2個、青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、それが赤球なら代わりに青球1個を袋に入れ、青球なら代わりに赤球1個を袋に入れる。袋に入っている3個の球がすべて青球になるとき、硬貨を1枚もらう。

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。

まず、1回目の操作で何が起こるかを考える。

1回目の操作で赤球を取り出す確率は $\frac{2}{3}$、青球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$ である。

1回目の操作で赤球を取り出した場合、袋の中身は赤球1個、青球2個となる。このとき、2回目の操作で青球を2個取り出す必要があるため、確率は $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9}$ となる。

1回目の操作で青球を取り出した場合、袋の中身は赤球3個となる。このとき、2回目の操作では絶対に3つとも青球になることはない。

したがって、2回目の操作で硬貨をもらう確率は $\frac{2}{9}$ である。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。

袋の中の青球の個数は、操作によって1つ増えるか、1つ減るかのいずれかである。

初期状態で青球は1個なので、青球の個数は常に奇数個である。

したがって、青球が3個になることはなく、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

7回目までの操作で硬貨をもらわず、8回目の操作で硬貨をもらう必要がある。

2回目で硬貨をもらう確率は $\frac{2}{9}$ であり、2回目で硬貨をもらわない確率は $1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ である。

2回目で硬貨をもらう場合、それ以降は硬貨をもらえないため考慮する必要がない。

初期状態（赤2, 青1）を状態0とする。1回目の操作で赤球が出ると（赤1, 青2）の状態1に、青球が出ると（赤3, 青0）の状態2になる。状態2からは絶対に目標の状態にならない。

状態1において2回目に青球が出ると（赤0, 青3）となり硬貨を得る。この確率は上記の通り$\frac{2}{9}$である。

状態1において2回目に赤球が出ると（赤2, 青1）の状態0に戻る。この確率は$\frac{1}{3}$である。

したがって状態0に戻る確率は$\frac{1}{3}$、状態１になる確率は$\frac{2}{3}$である。

8回の操作でもらう硬貨がちょうど1枚である確率は、2回目で硬貨をもらわず、4回目でも硬貨をもらわず、6回目でも硬貨をもらわず、8回目で硬貨をもらう確率である。

2回操作で状態が0に戻る確率は$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。2回操作後、状態1から硬貨をもらう確率は$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}= \frac{4}{9}$. よって2回操作後硬貨をもらわないで状態0に戻る確率は $\frac{2}{9}$。

2回操作で硬貨を得る確率は $\frac{2}{9}$。

８回の操作でちょうど１枚だけ硬貨を得る確率は、

6回操作後に状態0にいて、7回目8回目の操作で初めて硬貨を得る確率に等しい。

6回操作後に状態0にいる確率 = (状態0から状態0に戻る)^3 = $(\frac{2}{9})^3 = \frac{8}{729}$

8回目の操作で硬貨を得る確率は $\frac{2}{9}$。

したがって、求める確率は $\frac{8}{729} \cdot \frac{2}{9} = \frac{16}{6561}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。（証明は上記）

(3) $\frac{16}{6561}$