袋の中に赤球2個と青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、取り出した球が赤球ならば代わりに青球1個を袋に入れ、青球ならば代わりに赤球1個を袋に入れる。袋に入っている3個の球がすべて青球になったとき、硬貨を1枚もらう。 (1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。 (2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ。 (3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個と青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、取り出した球が赤球ならば代わりに青球1個を袋に入れ、青球ならば代わりに赤球1個を袋に入れる。袋に入っている3個の球がすべて青球になったとき、硬貨を1枚もらう。

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。

1回目の操作で赤球を取り出すと、袋の中は赤球1個と青球2個になる。

2回目の操作ですべて青球になるためには、1回目と2回目に連続して赤球を取り出す必要がある。

1回目の操作で赤球を取り出す確率は $\frac{2}{3}$ である。

1回目の操作で赤球を取り出した後、袋の中は赤球1個と青球2個になるので、2回目の操作で赤球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$ である。

したがって、2回目の操作で硬貨をもらう確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ である。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。

操作の前後で青球の個数は、偶数個の状態から操作を行うと奇数個に、奇数個の状態から操作を行うと偶数個になる。

初期状態では青球は1個なので奇数個である。

硬貨をもらうためには、青球が3個、つまり奇数個必要となる。

したがって、青球が奇数個の状態から、青球が奇数個の状態になることはないので、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

8回の操作で硬貨を1枚もらうためには、2回目の操作で硬貨をもらい、その後6回の操作では硬貨をもらわない必要がある。

2回目に硬貨をもらう確率は $\frac{2}{9}$。

2回目に硬貨をもらった後、袋の中身は青球3個。

3回目以降は青球しか取り出さないので、状態は変わらない。

つまり、3回目以降は硬貨をもらうことができない。

したがって、8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率は $\frac{2}{9}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) $\frac{2}{9}$