袋の中に赤球2個、青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、赤球なら代わりに青球1個を、青球なら代わりに赤球1個を袋に入れる。袋に入っている球がすべて青球になったら硬貨を1枚もらう。 (1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。 (2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。 (3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個、青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、赤球なら代わりに青球1個を、青球なら代わりに赤球1個を袋に入れる。袋に入っている球がすべて青球になったら硬貨を1枚もらう。

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率

1回目の操作の結果によって場合分けする。

- 1回目に赤球を取り出す場合：

確率は$\frac{2}{3}$。袋の中身は赤球1個、青球2個となる。

2回目に青球を2回続けて取り出す必要がある。確率は$\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{0}{1} = 0$。

- 1回目に青球を取り出す場合：

確率は$\frac{1}{3}$。袋の中身は赤球3個となる。

2回目に赤球を取り出す必要がある。確率は$\frac{1}{3} \times \frac{3}{3}$。袋の中身は赤球2個、青球1個となる。

ここからさらに2回の操作で3個の青球を得る必要がある。

したがって2回目に硬貨をもらう確率は0。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないこと

操作を行うたびに、袋の中の球の総数は3個で変わらない。

奇数回目の操作で硬貨をもらうためには、操作前の状態が「赤球2個、青球1個」の状態から、奇数回の操作によって3個とも青球になる必要がある。しかし、操作を奇数回行うと、袋の中に必ず赤球が残る。なぜなら、各操作で球の数は変化しないので、最初の状態から数えて、奇数回の操作の後には必ず赤球が存在する。したがって、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率

8回の操作で硬貨を1枚もらうためには、2回目の操作で硬貨をもらい、3回目から8回目までは硬貨をもらわない、あるいは4回目の操作で硬貨をもらい、それ以外の回は硬貨をもらわない、…というように、偶数回目の操作で1回だけ硬貨をもらう必要がある。

2回目の操作で硬貨をもらう確率が0であることから、他の偶数回も同様に確率が0になる。

したがって、8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率は0である。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない (証明済み)

(3) 0