黒球3個、赤球4個、白球5個が入った袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を横一列に12個すべて並べます。袋から個々の球が取り出される確率は等しいものとします。 (1) どの赤球も隣り合わない確率を求めます。 (2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めます。

1. 問題の内容

黒球3個、赤球4個、白球5個が入った袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した球を横一列に12個すべて並べます。袋から個々の球が取り出される確率は等しいものとします。

(1) どの赤球も隣り合わない確率を求めます。

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、全事象の場合の数を求めます。これは12個の球を並べる順列なので、

$\frac{12!}{3!4!5!}$ となります。

次に、赤球が隣り合わない並べ方を考えます。まず、黒球と白球を並べます。これは8個の球を並べる順列なので、$\frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$ 通りあります。

次に、これらの球の間と端の9箇所に赤球を並べます。4個の赤球を並べる場所を選ぶ組み合わせは ${}_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$ 通りです。

したがって、赤球が隣り合わない並べ方は $56 \cdot 126 = 7056$ 通りです。

求める確率は、 $\frac{56 \cdot 126}{\frac{12!}{3!4!5!}} = \frac{56 \cdot 126 \cdot 3!4!5!}{12!} = \frac{56 \cdot 126 \cdot 6 \cdot 24 \cdot 120}{479001600} = \frac{10160640}{479001600} = \frac{14}{66}$

$\frac{{}_9C_4}{\frac{12!}{3!4!5!}/\frac{8!}{3!5!}} = \frac{126}{479001600/40320} = \frac{126}{27720/56} = \frac{126}{495} = \frac{14}{55}$

したがって、どの赤球も隣り合わない確率は $\frac{14}{55}$ です。

(2)

赤球が隣り合わず、黒球も隣り合わない場合を考えます。

まず白球5個を並べます。次に白球の間と端の6箇所から黒球を入れる3箇所を選びます。これは ${}_6C_3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$ 通りです。

次に残った8箇所から赤球を入れる4箇所を選びます。これは ${}_8C_4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$ 通りです。

したがって、赤球と黒球が隣り合わない並べ方は $20 \cdot 70 = 1400$ 通りです。

条件付き確率 $q$ は、 $\frac{1400}{7056} = \frac{25}{126}$ です。

したがって、$q = \frac{1400}{7056} = \frac{25}{126}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{14}{55}$

(2) $\frac{25}{126}$