袋の中に赤球2個と青球1個が入っている。袋から球を1個取り出し、赤球なら代わりに青球を、青球なら代わりに赤球を袋に入れる。袋の中身が全て青球になったとき、硬貨を1枚もらえる。 (1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。 (2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。 (3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個と青球1個が入っている。袋から球を1個取り出し、赤球なら代わりに青球を、青球なら代わりに赤球を袋に入れる。袋の中身が全て青球になったとき、硬貨を1枚もらえる。

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率

1回目の操作で硬貨をもらわないことが前提。最初の状態は赤球2個、青球1個。2回目の操作で3個全て青球になるためには、1回目の操作後に赤球1個、青球2個である必要がある。

1回目の操作で赤球を取り出す確率は $\frac{2}{3}$ 。このとき、袋の中身は赤球1個、青球2個になる。

2回目の操作で赤球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$ 。このとき、袋の中身は青球3個になり、硬貨がもらえる。

したがって、2回目の操作で硬貨をもらう確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ 。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことの証明

袋の中の青球の個数は、操作のたびに偶数個ずつ変化する。

最初は青球が1個である。

1回目の操作後、青球の個数は 0個または2個になる。

2回目の操作後、青球の個数は 1個または3個になる。

一般に、$n$回目の操作後、青球の個数の偶奇は$n$の偶奇と一致する。

したがって、奇数回目の操作後には青球の個数は奇数個である。

3個全てが青球になるのは青球の個数が3個のとき。3は奇数だから、奇数回目の操作で3個全て青球になることはない。

したがって、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率

8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚であるためには、2回目、4回目、6回目、8回目のいずれかの操作で1回だけ硬貨をもらう必要がある。

(2)より、奇数回目に硬貨をもらうことはないので、考慮する必要はない。

硬貨をもらう確率を$p = \frac{2}{9}$、硬貨をもらわない確率を$q = 1 - p = \frac{7}{9}$とする。

硬貨を1枚もらうのは、2回目、4回目、6回目、8回目のいずれか1回のみ。

したがって、求める確率は、

$(\frac{2}{9} \times (\frac{7}{9})^3) + ((\frac{7}{9})\times \frac{2}{9} \times (\frac{7}{9})^2) + ((\frac{7}{9})^2 \times \frac{2}{9} \times \frac{7}{9}) + ((\frac{7}{9})^3 \times \frac{2}{9})$

$= 4 \times (\frac{2}{9}) \times (\frac{7}{9})^3 = 4 \times \frac{2}{9} \times \frac{343}{729} = \frac{2744}{6561}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない (証明は上記)

(3) $\frac{2744}{6561}$