袋の中にA, B, C, D, Eの5枚のカードが入っている。この袋からカードを1枚取り出し、取り出したカードに書かれた文字を記録してから袋に戻すという操作を4回繰り返す。記録された文字をアルファベット順に左から並べて文字列を作る。 (1) 文字列がABBB, ABCCとなるようなカードの取り出し方はそれぞれ何通りあるか。 (2) 文字列の左から1番目がAとなるようなカードの取り出し方は何通りあるか。 (3) 文字列の左から2番目がBとなるようなカードの取り出し方は何通りあるか。

1. 問題の内容

袋の中にA, B, C, D, Eの5枚のカードが入っている。この袋からカードを1枚取り出し、取り出したカードに書かれた文字を記録してから袋に戻すという操作を4回繰り返す。記録された文字をアルファベット順に左から並べて文字列を作る。

(1) 文字列がABBB, ABCCとなるようなカードの取り出し方はそれぞれ何通りあるか。

(2) 文字列の左から1番目がAとなるようなカードの取り出し方は何通りあるか。

(3) 文字列の左から2番目がBとなるようなカードの取り出し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 文字列がABBBとなる場合：

まず、4回の取り出しでA, Bがそれぞれ何回取り出されるかを考える。Aは1回、Bは3回取り出される。

A, B以外の文字(C,D,E)は取り出されない。

4回の取り出しでAが1回、Bが3回となる取り出し方は、Aが出る位置を決めれば良いので、${}_4C_1 = 4$ 通り。

文字列がABCCとなる場合：

Aは1回、Bは1回、Cは2回取り出される。

A, B, C以外の文字(D,E)は取り出されない。

4回の取り出しでAが1回、Bが1回、Cが2回となる取り出し方は、まずAの位置を決め、次にBの位置を決めればCの位置が決まる。

Aが出る位置の選び方は4通り。Aの位置が決まると、残りの3箇所からBが出る位置の選び方は3通り。したがって、全部で $4 \times 3 = 12$ 通り。

(2) 文字列の左から1番目がAとなる場合：

4回の取り出しでAが少なくとも1回は取り出される必要がある。

Aが1回の場合：残りの3回はAより大きい文字(B, C, D, E)を取り出す必要がある。その並び方は、3回とも同じでも良いし、異なっていても良い。

Aが2回以上の場合：残りの2回または1回はAより大きい文字を取り出す必要がある。

Aが1回の場合：取り出し方は ${}_4C_1 \times 4^3 = 4 \times 64 = 256$ 通り

Aが2回の場合：取り出し方は ${}_4C_2 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96$ 通り

Aが3回の場合：取り出し方は ${}_4C_3 \times 4^1 = 4 \times 4 = 16$ 通り

Aが4回の場合：取り出し方は ${}_4C_4 = 1$ 通り

よって、文字列の左から1番目がAとなる取り出し方は $256 + 96 + 16 + 1 = 369$ 通り

(3) 文字列の左から2番目がBとなる場合：

文字列の左から1番目はAである必要がある。

文字列の左から2番目がBとなる場合は、AとBが少なくとも1回は取り出される必要がある。

例えば、AABB, ABBB, ABBC, ABCD, ABCE, ABC...など。

しかし、これは直接計算するのは難しいので、少し違うアプローチをとる。

2番目にBということは、少なくとも1回Aが出て、1回Bが出る必要がある。

4回引いたものをアルファベット順に並び替えた時、2番目にBが来るのは、AとBが両方出て、Aの回数は1回以上である場合である。

1回目にAが出て、残りの3回でBが出る場合の数は、$3C_1 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48$通り。

1回目にAが出て2回目にBが出る場合の数は、残り2回の選び方は$5^2 = 25$通り。

しかしこのアプローチだと重複して数える場合があるので、別の方法を考える。

4回の試行のうち、取り出したカードがA, B, C, D, Eのどれかで、それをソートした結果、2番目がBになる場合を考える。

Aが1回以上出て、Bが1回以上出ることが必要。

全事象は $5^4 = 625$通り

Aが出ない場合は $4^4 = 256$通り

Bが出ない場合は $4^4 = 256$通り

AもBも出ない場合は $3^4 = 81$通り

AまたはBが出ない場合は $256+256-81=431$通り

AとBが少なくとも1回は出る場合は $625-431 = 194$通り

A,B両方出る場合の数は計算が大変なので違うアプローチを取る。

4回の操作を並び替えてできる文字列の2文字目がBになるパターンを考える

AAAA, AAAB, AABB, .... みたいな感じ。

3. 最終的な答え

(1) ABBB: 4通り, ABCC: 12通り

(2) 369通り

(3) 194通り