(1) さいころを1回または2回振り、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。1回振って出た目を見て、2回目を振るかどうかをどのように判断するのが有利であるか。 (2) (1)と同様なゲームで、3回振ることも許されるとしたら、2回目、3回目を振るかどうかは、どのように判断するのが有利であるか。 ただし、(1), (2)とも有利,不利は得点の期待値によって判断するものとする。

1. 問題の内容

(1) さいころを1回または2回振り、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。1回振って出た目を見て、2回目を振るかどうかをどのように判断するのが有利であるか。

(2) (1)と同様なゲームで、3回振ることも許されるとしたら、2回目、3回目を振るかどうかは、どのように判断するのが有利であるか。

ただし、(1), (2)とも有利,不利は得点の期待値によって判断するものとする。

2. 解き方の手順

(1)

さいころを1回振ったときの出目の期待値は、

$E = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

である。

1回目に振った出目が$x$のとき、2回目を振るべきかどうかの判断は、$x$と3.5の大小関係による。

もし$x < 3.5$ならば、2回目を振ることで期待値を上げることができる。

もし$x \ge 3.5$ならば、2回目を振らずに$x$を得点とする方が期待値を上げることができる。

したがって、1回目の出目が3以下の場合は2回目を振り、4以上の場合は2回目を振らないのが有利である。

(2)

まず、3回目の判断について考える。2回目の出目を$y$とすると、3回目を振るべきかどうかの判断は、$y$と3.5の大小関係による。

もし$y < 3.5$ならば、3回目を振ることで期待値を上げることができる。

もし$y \ge 3.5$ならば、3回目を振らずに$y$を得点とする方が期待値を上げることができる。

したがって、2回目の出目が3以下の場合は3回目を振り、4以上の場合は3回目を振らないのが有利である。

次に、2回目の判断について考える。1回目の出目を$x$とする。

もし2回目を振った場合、3回目を振るかどうかは、2回目の出目が3以下か4以上かで決まる。

2回目の出目が3以下の確率 $P(y \leq 3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

2回目の出目が4以上の確率 $P(y \geq 4) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

2回目を振ったときの得点の期待値は、

$\frac{1}{2} \times 3.5 + \frac{1}{2} \times \frac{4+5+6}{3} = \frac{1}{2} \times 3.5 + \frac{1}{2} \times 5 = 4.25$

もし$x < 4.25$ ならば、2回目を振ることで期待値を上げることができる。

もし$x \ge 4.25$ ならば、2回目を振らずに$x$を得点とする方が期待値を上げることができる。

したがって、1回目の出目が4以下の場合は2回目を振り、5以上の場合は2回目を振らないのが有利である。

3. 最終的な答え

(1) 1回目の出目が3以下の場合は2回目を振り、4以上の場合は2回目を振らないのが有利である。

(2) 1回目の出目が4以下の場合は2回目を振り、5以上の場合は2回目を振らない。2回目の出目が3以下の場合は3回目を振り、4以上の場合は3回目を振らないのが有利である。