袋の中に赤球2個と青球1個が入っている。次の操作を繰り返す。操作：袋から1個の球を取り出し、それが赤球ならば代わりに青球1個を袋に入れ、青球ならば代わりに赤球1個を袋に入れる。袋に入っている3個の球がすべて青球になるとき、硬貨を1枚もらう。 (1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。 (2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ。 (3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個と青球1個が入っている。次の操作を繰り返す。操作：袋から1個の球を取り出し、それが赤球ならば代わりに青球1個を袋に入れ、青球ならば代わりに赤球1個を袋に入れる。袋に入っている3個の球がすべて青球になるとき、硬貨を1枚もらう。

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率

1回目の操作後、すべての球が青球になることはありえない。なぜなら、最初に青球が1つしかないからである。

したがって、2回目の操作ですべて青球になるには、1回目の操作で赤球を引き、青球と交換し、2回目の操作ですべて青球になればよい。

1回目の操作で赤球を引く確率は $\frac{2}{3}$ である。

このとき、袋の中は青球2個、赤球1個となる。

2回目の操作ですべて青球になるには、赤球を引く必要がある。その確率は $\frac{1}{3}$。

したがって、2回目の操作で硬貨をもらう確率は

$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない

1回目の操作後、袋の中の青球の数は0個、2個のいずれかである。

3回目の操作ですべて青球になるには、2回目の操作後、青球が2個、赤球が1個でなければならない。しかし、2回目の操作で青球が2個になるには、1回目の操作で赤球を取り出している必要がある。1回目の操作で赤球を取り出すと、青球が2個になる。この時、赤球が1個残っている。

2回目の操作で、青球を取り出すと青球1個と赤球2個になる。

2回目の操作で、赤球を取り出すと青球3個になる。

1回目の操作後、袋の中の青球の数は0個、2個のいずれかである。

したがって、2回目の操作で青球を取り出すと、袋の中は青球1個と赤球2個。赤球を取り出すと、袋の中は青球3個となり、硬貨をもらう。

操作のたびに、球の総数は3個で変わらない。

奇数回目の操作後、袋の中の赤球の数は2個か0個である。

偶数回目の操作後、袋の中の赤球の数は1個か3個である。

したがって、奇数回目の操作では、すべての球が青球になることはないので、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率

8回の操作でもらう硬貨の総数が1枚であるには、8回の操作の中で一度だけ3つの球がすべて青球になる必要がある。硬貨をもらうのは、操作2,4,6,8回目のいずれかである。

(1)より、2回目の操作で硬貨をもらう確率は$\frac{2}{9}$。

硬貨をもらわない確率は $1 - \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{9}$。

8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

これは、2,4,6,8回目のいずれか1回で硬貨をもらい、他の7回の操作では硬貨をもらわない確率を求めることになる。

操作2,4,6,8回目以外は、1回前の操作で赤球を取り出さない限りは硬貨をもらわない。

8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を計算する。

2. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) 求める確率を$P$とすると、$P=0$