袋の中に最初、赤球2個と青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、それが赤球ならば代わりに青球1個を袋に入れ、青球ならば代わりに赤球1個を袋に入れる。袋に入っている3個の球がすべて青球になるとき、硬貨を1枚もらう。2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に最初、赤球2個と青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、それが赤球ならば代わりに青球1個を袋に入れ、青球ならば代わりに赤球1個を袋に入れる。袋に入っている3個の球がすべて青球になるとき、硬貨を1枚もらう。2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。

2. 解き方の手順

袋の中の状態を(赤球の数, 青球の数)で表す。最初、袋の中は(2, 1)である。

1回目の操作で起こりうる状態の変化は以下の通り。

* 赤球を取り出す場合：確率は $\frac{2}{3}$ で、袋の中は(1, 2)になる。

* 青球を取り出す場合：確率は $\frac{1}{3}$ で、袋の中は(3, 0)になる。

2回目の操作で硬貨をもらうためには、袋の中が(0, 3)になる必要がある。

* 1回目の操作で(1, 2)になった場合：2回目の操作で赤球を取り出す必要がある。確率は $\frac{1}{3}$ で、袋の中は(0, 3)になる。この経路の確率は、$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

* 1回目の操作で(3, 0)になった場合：2回目の操作で赤球を取り出す必要がある。確率は $\frac{3}{3} = 1$で、袋の中は(2, 1)になる。したがって、2回目の操作で(0,3)になることはない。

したがって、2回目の操作で硬貨をもらう確率は $\frac{2}{9}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{9}$