袋の中に黒球3個、赤球4個、白球5個が入っている。この袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した順に横一列に12個すべて並べる。 (1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求めよ。 (2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に黒球3個、赤球4個、白球5個が入っている。この袋から球を1個ずつ取り出し、取り出した順に横一列に12個すべて並べる。

(1) どの赤球も隣り合わない確率 $p$ を求めよ。

(2) どの赤球も隣り合わないとき、どの黒球も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、12個の球を並べる総数を計算する。

これは、同じものを含む順列であるため、

$$\frac{12!}{3!4!5!} = 27720$$

次に、赤球が隣り合わないように並べる方法を考える。

まず、黒球3個と白球5個を並べる。これは、

$$\frac{8!}{3!5!} = 56$$

通りである。

この8個の球の間と両端の9箇所に、赤球4個を並べる。これは、

$${}_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = 126$$

通りである。

したがって、赤球が隣り合わない並べ方は、

$$56 \times 126 = 7056$$

通りである。

したがって、求める確率 $p$ は、

$$p = \frac{7056}{27720} = \frac{126}{495} = \frac{14}{55}$$

(2)

赤球が隣り合わず、かつ、黒球も隣り合わない確率を求める。

まず、白球5個を並べる。これは1通りである。

この6箇所に、黒球3個を並べる。これは、

$${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = 20$$

通りである。

次に、すでに並んでいる8個の球の間と両端の9箇所に、赤球4個を並べる。これは、

$${}_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = 126$$

通りである。

したがって、赤球も黒球も隣り合わない並べ方は、

$$20 \times 126 = 2520$$

通りである。

したがって、求める条件付き確率 $q$ は、

$$q = \frac{2520}{7056} = \frac{5}{14}$$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{14}{55}$

(2) $q = \frac{5}{14}$