(1) サイコロを1回または2回振って、最後に出た目を点数とするゲームを考える。1回振った後、2回目を振るかどうかを、期待値に基づいてどのように判断すれば有利か。 (2) (1) と同様のゲームで、3回まで振ることができるとする。2回目、3回目を振るかどうかを、期待値に基づいてどのように判断すれば有利か。

1. 問題の内容

(1) サイコロを1回または2回振って、最後に出た目を点数とするゲームを考える。1回振った後、2回目を振るかどうかを、期待値に基づいてどのように判断すれば有利か。

(2) (1) と同様のゲームで、3回まで振ることができるとする。2回目、3回目を振るかどうかを、期待値に基づいてどのように判断すれば有利か。

2. 解き方の手順

(1) 2回振るゲーム

* **2回目を振る場合の期待値を計算する。**

サイコロの目の期待値は、

$(1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5$

である。

* **1回目の出目によって、2回目を振るかどうかの判断基準を定める。**

もし1回目の出目が $x$ だったとする。

$x < 3.5$ ならば、2回目を振った方が期待値は高くなる。

$x > 3.5$ ならば、2回目を振らない方が期待値は高くなる。

したがって、1回目の出目が3以下ならば2回目を振り、4以上ならば振らないのが最適である。

(2) 3回振るゲーム

* **3回目を振るかどうかの判断基準を定める。**

2回目を振った後、3回目を振るかどうかの判断は、1回目を振った後の判断と同様である。つまり、2回目の出目が3以下ならば3回目を振り、4以上ならば振らないのが最適である。

* **2回目を振るかどうかの判断基準を定める。**

1回目の出目を $x$ とする。

もし $x \geq 4$ ならば、2回目を振る必要はない。

もし $x \leq 3$ ならば、2回目を振るかどうかを考える。

2回目を振った場合、2回目の出目が3以下なら3回目を振り、4以上なら振らないので、その期待値を計算する必要がある。

2回目を振ったときの期待値は、(3回目を振る可能性を考慮すると)以下のように計算される。

2回目の出目が1, 2, 3のいずれかである確率は $3/6 = 1/2$ であり、その場合3回目の期待値は3.5となる。

2回目の出目が4, 5, 6のいずれかである確率は $3/6 = 1/2$ であり、その場合3回目は振らないため、そのまま4, 5, 6が点数となる。

したがって、2回目を振った場合の期待値は

$(1/2) \cdot 3.5 + (1/2) \cdot (4+5+6)/3 = (1/2) \cdot 3.5 + (1/2) \cdot 5 = 1.75 + 2.5 = 4.25$

となる。

したがって、もし $x < 4.25$ ならば、2回目を振った方が期待値は高くなる。

もし $x > 4.25$ ならば、2回目を振らない方が期待値は高くなる。

したがって、1回目の出目が4以下ならば2回目を振り、5以上ならば振らないのが最適である。

3. 最終的な答え

(1) 1回目に振った出目が3以下ならば2回目を振り、4以上ならば振らない。

(2) 1回目に振った出目が4以下ならば2回目を振る。5以上ならば振らない。2回目を振った場合、2回目の出目が3以下ならば3回目を振り、4以上ならば振らない。