男子A, B, C, D, Eと女子F, G, Hの8人が横一列に並ぶとき、以下の問いに答える。 (1) AとBが隣り合うような並び方は何通りあるか。 (2) AとBの間にちょうど2人が並ぶような並び方は何通りあるか。 (3) 女子同士が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

はい、承知いたしました。問題文を解いていきます。

1. 問題の内容

男子A, B, C, D, Eと女子F, G, Hの8人が横一列に並ぶとき、以下の問いに答える。

(1) AとBが隣り合うような並び方は何通りあるか。

(2) AとBの間にちょうど2人が並ぶような並び方は何通りあるか。

(3) 女子同士が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AとBが隣り合うとき

AとBをひとまとめにして考えます。このひとまとめをXとします。

すると、X, C, D, E, F, G, Hの7つのものを並べることになります。

7つのものの並べ方は $7!$ 通りです。

さらに、Xの中でのAとBの並び方はA, B と B, A の2通りあります。

したがって、求める並び方は $7! \times 2 = 5040 \times 2 = 10080$ 通りです。

(2) AとBの間にちょうど2人が並ぶとき

まず、AとBの並び方を考えます。A _ _ B または B _ _ A の2通りがあります。

AとBの間の2人の選び方は、AとB以外の6人から2人を選ぶ順列なので、$6P2 = 6 \times 5 = 30$ 通りです。

次に、AとBとその間の2人をひとまとめにして考えます。このひとまとめをYとします。

Y, C, D, E, F, G, Hの残りの4人を並べることになります。

Yとその残りの4人の並べ方は、5つのものを並べることになるので $5! = 120$ 通りです。

したがって、求める並び方は $2 \times 30 \times 5! = 2 \times 30 \times 120 = 7200$ 通りです。

(3) 女子同士が隣り合わないとき

まず、男子A, B, C, D, Eの5人を並べます。

並べ方は $5! = 120$ 通りです。

次に、男子の並びの間の6箇所（両端を含む）から3箇所を選んで女子F, G, Hを並べます。

6箇所から3箇所を選ぶ順列は $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。

したがって、求める並び方は $5! \times 6P3 = 120 \times 120 = 14400$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 10080通り

(2) 7200通り

(3) 14400通り