大小中3個のサイコロを投げたとき、目の和が7になる場合は何通りあるか。

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げたとき、目の和が7になる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

サイコロの目をそれぞれ$x, y, z$とする。ここで、$x, y, z$はそれぞれ1から6までの整数である。

求めるべきは、$x + y + z = 7$を満たす整数の組$(x, y, z)$の個数である。

ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$を満たす必要がある。

まず、$x', y', z'$を、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$と定義すると、$x', y', z'$は0から5までの整数であり、$x = x' + 1$, $y = y' + 1$, $z = z' + 1$と表せる。

したがって、

$x + y + z = (x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 7$

$x' + y' + z' = 7 - 3 = 4$

となる。ここで、$0 \le x' \le 5$, $0 \le y' \le 5$, $0 \le z' \le 5$である。

$x' + y' + z' = 4$を満たす非負整数の組$(x', y', z')$の個数を求める。

これは、4個の区別できない玉を3つの区別できる箱に入れる場合の数に等しい。

これは重複組み合わせの問題であり、$_3H_4 = {}_{3+4-1}C_4 = {}_6C_4 = {}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りである。

ここで、$x', y', z'$はそれぞれ5以下なので、条件を満たさない場合はない。

なぜなら、もし、$x' \ge 6$ならば、$x' + y' + z' \ge 6 > 4$となり、矛盾するからである。$y'$と$z'$についても同様である。

したがって、求めるべきは15通りである。

3. 最終的な答え

15通り