1枚の台紙に、サイコロを5回投げて、3の倍数が出たら赤のシール、それ以外が出たら青のシールを左から順に貼る。 (1) 赤のシールが3枚、青のシールが2枚貼られる確率を求める。 (2) ちょうど5回目に3枚目の赤のシールが貼られる確率を求める。 (3) 赤と青のシールが交互に貼られる確率を求める。 (4) 青のシールが3枚だけ連続して貼られている部分を含んでいる確率を求める。

1. 問題の内容

1枚の台紙に、サイコロを5回投げて、3の倍数が出たら赤のシール、それ以外が出たら青のシールを左から順に貼る。

(1) 赤のシールが3枚、青のシールが2枚貼られる確率を求める。

(2) ちょうど5回目に3枚目の赤のシールが貼られる確率を求める。

(3) 赤と青のシールが交互に貼られる確率を求める。

(4) 青のシールが3枚だけ連続して貼られている部分を含んでいる確率を求める。

2. 解き方の手順

サイコロを投げて3の倍数が出る確率は $1/3$、それ以外が出る確率は $2/3$ である。

(1) 赤のシールが3枚、青のシールが2枚貼られる確率は、二項定理より

$_{5}C_{3} (1/3)^3 (2/3)^2 = \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{4}{9} = 10 \cdot \frac{4}{243} = \frac{40}{243}$

よって、アイ=4、ウエオ=243

(2) ちょうど5回目に3枚目の赤のシールが貼られるということは、4回目までに赤のシールが2枚、青のシールが2枚貼られていて、5回目に赤のシールが貼られるということである。

4回目までに赤のシールが2枚、青のシールが2枚貼られる確率は

$_{4}C_{2} (1/3)^2 (2/3)^2 = \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = 6 \cdot \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

5回目に赤のシールが貼られる確率は $1/3$ であるから、

$\frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$

よって、カ=8、キク=81

(3) 赤と青のシールが交互に貼られるのは、赤青赤青赤、または青赤青赤青のどちらかである。

赤青赤青赤の確率は $(1/3) (2/3) (1/3) (2/3) (1/3) = \frac{4}{243}$

青赤青赤青の確率は $(2/3) (1/3) (2/3) (1/3) (2/3) = \frac{8}{243}$

よって、合計の確率は $\frac{4}{243} + \frac{8}{243} = \frac{12}{243} = \frac{4}{81}$

よって、ケ=4、コサ=81

(4) 青のシールが3枚だけ連続して貼られるのは、以下のパターンである。

赤青青青赤、青青青赤赤、赤赤青青青、赤青青青、青青青赤

それぞれの確率を計算する。

- 赤青青青赤：$(1/3)(2/3)^3(1/3) = 8/243$

- 青青青赤赤：$(2/3)^3(1/3)^2 = 8/243$

- 赤赤青青青：$(1/3)^2(2/3)^3 = 8/243$

- 赤青青青：$(1/3)(2/3)^3 = 8/81$

- 青青青赤：$(2/3)^3(1/3) = 8/81$

ただし、赤青青青赤と青青青赤赤、赤赤青青青の組み合わせは互いに排反であるため、計算する際は注意が必要である。

青が3枚連続するパターンを列挙すると

赤青青青赤, 赤赤青青青, 青青青赤赤, 赤青青青, 青青青赤

それぞれの確率を計算すると

8/243, 8/243, 8/243, 8/81, 8/81

8/243 + 8/243 + 8/243 + 24/243 + 24/243 = 72/243 = 8/27

よって、シス=8、セソタ=27

3. 最終的な答え

(1) $\frac{40}{243}$

(2) $\frac{8}{81}$

(3) $\frac{4}{81}$

(4) $\frac{8}{27}$