袋の中に最初に赤球2個、青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、それが赤球なら代わりに青球を、青球なら代わりに赤球を袋に入れる。袋の中の球がすべて青球になったら硬貨を1枚もらう。 (1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。 (2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。 (3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に最初に赤球2個、青球1個が入っている。袋から1個の球を取り出し、それが赤球なら代わりに青球を、青球なら代わりに赤球を袋に入れる。袋の中の球がすべて青球になったら硬貨を1枚もらう。

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求める。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示す。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率

最初に赤球2個、青球1個の状態を(赤,赤,青)と表す。硬貨をもらうためには、3つの球がすべて青球になる必要がある。

1回目の操作:

- 赤球を取り出す確率: $\frac{2}{3}$。状態は(青,青,青)になる。

- 青球を取り出す確率: $\frac{1}{3}$。状態は(赤,赤,赤)になる。

2回目の操作で硬貨をもらうためには、1回目の操作で(赤,赤,青)から(赤,赤,赤)になった場合、2回目の操作で3つとも青球にする必要がある。これはあり得ないため、1回目の操作は赤球を取り出す必要があり状態は(青,青,青)となる。2回目の操作で硬貨をもらうことはできない。

したがって、2回の操作で硬貨をもらう確率は0。

(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことの証明

操作を行うたびに、赤球の個数の偶奇は変化する。

最初の状態(赤2,青1)では赤球の個数は偶数(2個)である。

硬貨をもらうためには、赤球が0個になる必要があり、0も偶数である。

- 赤球を取り出すと、赤球の個数は1つ減り、青球の個数は1つ増える。

- 青球を取り出すと、赤球の個数は1つ増え、青球の個数は1つ減る。

したがって、1回の操作で赤球の個数の偶奇は変化する。

奇数回目の操作では、必ず赤玉の個数が奇数になる。

よって、奇数回で全ての球を青玉にすることはできない。

したがって、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。

(3) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率

硬貨を1枚もらうには3つの球がすべて青球になる必要がある。これは偶数回目の操作でのみ可能である。8回の操作でちょうど1枚硬貨をもらうということは、2回目、4回目、6回目、または8回目のいずれか1回に硬貨をもらう必要がある。それ以降は、操作を続けると、赤球が少なくとも1つは袋に戻るので、他の回では硬貨をもらえない。

2回目に硬貨をもらう場合：1回目は赤玉を引く必要があり、2回目は同様に赤玉を引く必要がある。確率は$\frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$. しかし、2回目で3つとも青玉になるため、それ以降は球を取り出しても状態が変わらないため、問題文の操作を繰り返すという記述に反する。したがって、これはありえない。

4回目に硬貨をもらう場合：1,2,3回目の操作では硬貨をもらえず、4回目に硬貨をもらう。

1回目: 赤を引く確率$\frac{2}{3}$、状態は(青,青,青)

2回目: 引く球に関わらず状態は変わらない

同様に考えると、4回目に硬貨をもらうためには1回目に赤球を引くことが必要。しかし、この場合それ以降は硬貨をもらい続けることになるため、問題文の条件を満たさない。

8回目で硬貨をもらう場合を考える。

1回目の操作で赤球を取り出す確率は$\frac{2}{3}$、状態は(青,青,青)。

この時点で3つとも青球になるため、2回目以降の操作が無意味になる。

状態(赤,赤,青)の状態から操作を繰り返す場合を考える必要がある。

操作の結果、硬貨をもらえるのは、偶数回目に操作を行った場合のみ。

8回目に初めて硬貨をもらうためには、1〜7回目までは一度も３つとも青玉の状態になってはいけない。また8回目の操作で初めて3つの青玉にならなければならない。これは不可能である。

したがって、8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率は0。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 奇数回の操作で硬貨をもらうことはない

(3) 0